Tässä artikkelissa tutkimme Fourier-muunnosanalyysiä tai Fourier-muunnosta piirianalyysissä. Fourier-muunnos on pohjimmiltaan matemaattinen operaatio, joka jakaa signaalin sen taajuuskomponenteiksi. Yksinkertaisesti sanottuna se muuntaa signaalin aika-alueelta taajuusalueelle. Aika-alue edustaa signaalia ajan funktiona, kun taas taajuusalue edustaa signaalia taajuuden funktiona.

Fourier-muunnos

Fourier-muunnos on hämmästyttävä tehokas työkalu erilaisten piirien käyttäytymisen analysointiin, koska sen avulla voimme nähdä kuinka piiri reagoi eri taajuuksilla. Tästä on hyötyä erilaisissa tehtävissä, kuten:

• Analysoi piirin vastetta mielivaltaisiin tulosignaaleihin: Tätä voidaan helposti käyttää suunnittelemaan piirejä, jotka pystyvät käsittelemään valtavan valikoiman tulosignaaleja, kuten ääni- tai videosignaaleja.
• Piirin resonanssitaajuuksien tunnistaminen: Resonanssitaajuudet ovat taajuuksia, joilla piiri vahvistaa signaaleja. Näitä tietoja voidaan käyttää suunnittelemaan piirejä, joiden tulisi toimia tietyillä taajuuksilla, kuten suodattimina tai oskillaattorina.
• Suodattimien suunnittelu poistamaan ei-toivotut taajuuskomponentit signaalista: Suodattimia voidaan käyttää useimmiten poistamaan kohinan tai häiriön signaalista tai erottamaan tiettyjä taajuuskomponentteja tietystä signaalista.
• Piirin vakauden ymmärtäminen: Vakaa piiri on sellainen, joka ei yksinkertaisesti värähtele tai eroa. Fourier-muunnoksen avulla voidaan analysoida piirin vakautta vain katsomalla piirin taajuusvastetta.

Fourier-muunnosta käytetään myös monilla muilla aloilla, kuten signaalinkäsittelyssä, kuvankäsittelyssä ja kvanttimekaniikassa.

Tässä artikkelissa käsittelemme seuraavia aiheita, jotka liittyvät Fourier-muunnokseen piirianalyysissä:

• Fourier-muunnosten tyypit
• Fourier-muunnoksen ominaisuudet
• Fourier-muunnoksen sovellukset piirianalyysissä

Keskustelemme myös esimerkeistä ja kuvista, jotka auttavat ymmärtämään käsitteitä oikein.

Evoluution syyn ymmärtäminen

Fourier-muunnoksen kehitti ensin tunnettu ranskalainen matemaatikko Jean-Baptiste Joseph Fourier 1800-luvun alussa. Hän oli syvästi kiinnostunut ratkaisemaan lämmönjohtavuusyhtälön, joka on osittainen differentiaaliyhtälö. Fourier ymmärsi, että hän voisi ratkaista yhtälön yksinkertaisesti jakamalla alkuperäisen lämpötilajakauman sen osasiniksi ja kosiniaalloiksi.

Fourier-muunnosta on sittemmin sovellettu lukuisiin fysiikan ja tekniikan ongelmiin, joihin kuuluu piirianalyysi. Piirianalyysissä Fourier-muunnosta voidaan käyttää analysoimaan piirin vastetta mielivaltaisiin tulosignaaleihin.

Fourier-muunnoksen vaikutukset

Fourier-muunnolla on suuri joukko tärkeitä vaikutuksia piirianalyysiin. Ensinnäkin sen avulla voimme analysoida piirin vastetta mielivaltaisiin tulosignaaleihin. Sitten toiseksi sen avulla voimme tunnistaa piirin resonanssitaajuudet. Kolmannen jälkeen sen avulla voimme suunnitella suodattimia, joita käytetään poistamaan ei-toivotut taajuuskomponentit signaalista.

Fourier-muunnoskaava

Signaalin x(t) Fourier-muunnos on merkitty X(f):llä ja se määritellään seuraavasti:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Tässä f on taajuus hertsin parametrina.

Fourier-muunnoskaavassa käytetty merkintä on:

• x(t) on aika-alueen signaali.
• X(f) on taajuusalueen signaali.
• j on kuvitteellinen yksikkö.
• e −j2πft on monimutkainen eksponentiaalinen funktio.

Fourier-muunnoksen tyypit

Fourier-muunnoksia on pääasiassa kahdenlaisia:

• Jatkuva Fourier-muunnos (CFT)
• Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) .

Jatkuva Fourier-muunnos (CFT)

CFT on määritelty jatkuva-aikaisille signaaleille, jotka ovat periaatteessa signaaleja, jotka voivat saada minkä tahansa arvon milloin tahansa.

Signaalin x(t) jatkuva Fourier-muunnos (CFT) voidaan määritellä seuraavasti:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

missä f on taajuus hertseinä.

CFT-kaavassa käytetty merkintä on:

• x(t) on aika-alueen signaali.
• X(f) on taajuusalueen signaali.
• j on kuvitteellinen yksikkö.
• e −j2πft on kompleksinen eksponentiaalinen funktio.

CFT:n johdannainen

CFT voidaan helposti johtaa jaksollisen signaalin Fourier-sarjasta. Jaksollisen signaalin x(t) Fourier-sarja jaksolla T saadaan seuraavasti:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Tässä Cn ovat signaalin Fourier-kertoimet.

CFT voidaan saada yksinkertaisesti ottamalla Fourier-sarjan raja jakson T lähestyessä ääretöntä. Tässä rajassa Fourier-kertoimista tulee jatkuvia taajuuden funktioita, ja Fourier-sarjasta tulee CFT.

Diskreetti Fourier-muunnos (DFT)

DFT on määritelty diskreettiaikaisille signaaleille, jotka ovat signaaleja, jotka voivat saada vain tietyt arvot tiettyinä aikoina.

Diskreettiaikaisen signaalin x[n] diskreetti Fourier-muunnos (DFT) voidaan määritellä seuraavasti:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Tässä k on taajuusindeksi ja N on tietyn signaalin pituus.

DFT-kaavassa käytetty merkintä on:

mitä eroa on megatavulla ja gigatavulla

• x[n] on diskreettiaikainen signaali.
• X[k] on taajuusalueen signaali.
• j on kuvitteellinen yksikkö.
• e −j2πkn/N
• on monimutkainen eksponentiaalinen funktio.

DFT:n johdannainen

Yksinkertaisesti sanottuna CFT on periaatteessa määritelty jatkuvan ajan signaaleja , kun taas DFT on määritetty diskreettiaikaiset signaalit . DFT:tä käytetään enimmäkseen Fourier-muunnoksen tyyppiä piirianalyysissä, kuten useimmat elektroniset piirit, jotka toimivat diskreettiaikaisilla signaaleilla.

Diskreettiaikaisen signaalin x[n] DFT on merkitty X[k]:lla ja se määritellään seuraavasti:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Tässä k on taajuusindeksi ja N on signaalin pituus.

DFT voidaan johtaa CFT:stä yksinkertaisesti näytteistää CFT:tä erillisillä taajuuksilla:

X[k] = X(f = k/N)>

Esimerkkejä Fourier-muunnoksesta kaaviolla

Tarkastellaan seuraavaa esimerkkipiiriä:

Yksinkertainen RC-piiri

Tässä piirin tulo on neliöaalto ja lähtö on suodatettu neliöaalto. Kun sisääntulon neliöaallon Fourier-muunnos on sarja impulsseja harmonisilla taajuuksilla. Ulostulon neliöaallon Fourier-muunnos on sarja vaimennettuja impulsseja harmonisilla taajuuksilla.

Tässä on seuraava kaavio, joka näyttää tulo- ja lähtösignaalien Fourier-muunnokset:

Fourier-muunnostulon lähtö

Ominaisuudet

Fourier-muunnolla on useita tärkeitä ominaisuuksia, mukaan lukien:

• Reaalisignaalin Fourier-muunnos on konjugaattisymmetrinen.
• Lineaarisen signaaliyhdistelmän Fourier-muunnos on yksittäisten signaalien Fourier-muunnosten lineaarinen yhdistelmä.
• Aikasiirretyn signaalin Fourier-muunnos on taajuussiirretty signaali.
• Taajuussiirretyn signaalin Fourier-muunnos on aikasiirretty signaali.

Ominaisuudet

Signaalin Fourier-muunnoksella on seuraavat ominaisuudet:

• Signaalin Fourier-muunnoksen suuruus edustaa signaalin taajuuskomponenttien amplitudia.
• Signaalin Fourier-muunnoksen vaihe edustaa signaalin taajuuskomponenttien vaihetta.

Sovellukset

Fourier-muunnolla on valtava määrä sovelluksia piirianalyysissä, mukaan lukien:

• Analysoi piirin annettua vastetta mielivaltaisiin tulosignaaleihin.
• Piirin resonanssitaajuuksien tunnistaminen.
• Suodattimien suunnittelu poistamaan ei-toivotut taajuuskomponentit signaalista.

Hyödyt ja haitat

Jotkut Fourier-muunnoksen eduista ja haitoista ovat

miten java päivitetään

Edut:

• Fourier-muunnos on tehokkain työkalu piirien taajuusvasteen analysointiin.
• Sitä voidaan käyttää suodattimien suunnittelussa poistamaan ei-toivotut taajuuskomponentit signaalista.

Haitat:

• Fourier-muunnos voi olla myös paljon monimutkaisempi ymmärtää ja käyttää.
• Fourier-muunnos voi olla laskennallisesti kalliimpaa laskea.

Ero Laplace-muunnoksen ja Fourier-muunnoksen välillä

Pohjimmiltaan Fourier-muunnos on enimmäkseen samanlainen kuin Laplace-muunnos, mutta siinä on muutamia keskeisiä eroja. Siinä, että Fourier-muunnos on määritelty jatkuva-aikaisille signaaleille, tarkoittaa sitä, kun taas Laplace-muunnos on määritelty sekä jatkuva- että diskreettiaikaisille signaaleille. Lisäksi Fourier-muunnos ei sovellu hyvin transienttisignaalien analysointiin, kun taas Laplace-muunnos on siinä hyödyllinen.

Forward ja käänteinen Fourier-muunnos

Myötäsuuntainen Fourier-muunnos voi muuntaa signaalin aika-alueelta taajuusalueelle. Käänteisen Fourier-muunnoksen tulisi muuntaa signaali taajuusalueelta aikatasolle.

Käänteinen Fourier-muunnos määritellään seuraavasti:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Eteenpäin sinimuunnos ja Fourier-kosinimuunnos

Myötäsuuntainen sinimuunnos ja myötäsuuntainen kosinimuunnos ovat periaatteessa kaksi muunnelmaa Fourier-muunnoksesta. Myötäsinimuunnos määritellään seuraavasti:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Myötäsuuntainen kosinimuunnos määritellään seuraavasti:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Myötäsinimuunnos ja myötäsuuntainen kosinimuunnos ovat erittäin hyödyllisiä analysoitaessa signaaleja, joissa on vastaavasti parillinen ja pariton symmetria.

Johtopäätös

Kaiken kaikkiaan Fourier-muunnos on tärkein työkalu piiristä analysointiin. Se antaa meille luvan ymmärtää, miten piirit reagoivat eri taajuuksiin, mikä on tärkeämpää elektronisten piirien suunnittelussa ja analysoinnissa. Fourier-muunnolla on erilaisia ​​sovelluksia piirianalyysissä, mukaan lukien piirin vasteen analysointi mielivaltaisiin tulosignaaleihin, tietyn piirin resonanssitaajuuksien tunnistaminen, suodattimien suunnittelu poistamaan ei-toivotut taajuuskomponentit signaalista ja ymmärrys signaalin vakaudesta. piiri.

Fourier-muunnosta käytetään myös monilla muilla aloilla, mukaan lukien signaalinkäsittely, kuvankäsittely ja kvanttimekaniikka. Se on erittäin monipuolinen ja tehokas työkalu, jolla on laaja valikoima sovelluksia.

Tässä on joitain lisäajatuksia Fourier-muunnoksen merkityksestä piirianalyysissä:

jos muuten lauseke javassa

• Fourier-muunnoksen avulla voimme yksinkertaisesti analysoida lineaarisia ja epälineaarisia piirejä.
• Fourier-muunnoksen avulla voidaan analysoida erilaisia ​​piirejä aika- tai taajuusalueella.
• Fourier-muunnosta voidaan käyttää analysoimaan piirejä, joissa on useita tuloja ja lähtöjä.
• Fourier-muunnoksen avulla voidaan analysoida piirejä takaisinkytkentäsilmukoilla.

Fourier-muunnos on tehokas työkalu, jolla voidaan analysoida monenlaisia ​​piiriongelmia. Se on välttämätön työkalu jokaiselle piiriinsinöörille.

Usein Kysytyt Kysymykset

1. Mitä eroa on Fourier-muunnoksen ja Laplace-muunnoksen välillä?

Laplace käyttää sekä CFT- että DFT-muunnoksia, mutta ei Fourier-muunnoksia

2. Miksi Fourier-muunnos on tärkeä piirianalyysissä?

Fourier-muunnos on tärkeämpi piirianalyysissä vain siksi, että sen avulla voimme analysoida piirien taajuusvastetta. Taajuusvaste

3. Mitkä ovat Fourier-muunnoksen sovellukset piirianalyysissä?

Fourier-muunnosta voidaan käyttää useisiin piirianalyysin tehtäviin, kuten:

Analysoi piirin vastetta mielivaltaisiin tulosignaaleihin.

Piirin resonanssitaajuuksien tunnistaminen.

Suodattimien suunnittelu poistamaan ei-toivotut taajuuskomponentit signaalista.

Piirin vakauden ymmärtäminen.