Kartion Frustum on erityinen muoto, joka muodostuu, kun leikataan kartio sen pohjan suuntaisella tasolla. Kartio on kolmiulotteinen muoto, jolla on pyöreä pohja ja kärki. Kartion katkaisu on siis kiinteä tilavuus, joka muodostuu poistamalla osa kartiosta, jonka taso on yhdensuuntainen pyöreän pohjan kanssa. Frustum ei ole määritelty vain kartioille, vaan se voidaan määritellä myös eri tyyppisille pyramideille (neliömäinen pyramidi, kolmiopyramidi jne.).

Joitakin tavallisia kartion muotoja, joita löydämme jokapäiväisessä elämässämme, ovat kauhat, lampunvarjostimet ja muut. Opitaanpa tässä artikkelissa lisää kartioiden frustumista.

Mikä on Frustum of Cone?

Frustum on latinankielinen sana, joka tarkoittaa kappaleita, joten kartion frustum on kiinteä pala kartiosta. Kun oikea pyöreä kartio on leikattu tasolla, joka on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa. Näin saatua muotoa kutsutaan kartion katkaistuksi. Alla olevasta kuvasta nähdään, kuinka taso leikkaa kartion pohjansa suuntaisesti muodostaen kartion katkaistun osan.

Nyt kartion katkaisu on helppo määritellä seuraavasti:

Jos oikeanpuoleinen pyöreä kartio leikataan pois sen pohjan suuntaisella tasolla, leikkaustason ja perustason välisen osan muotoa kutsutaan katkaistun kartion muotoiseksi.

Net of Piece of Cone

Jos kolmiulotteinen (3D) muoto leikataan auki ja siitä tehdään kaksiulotteinen muoto, niin saatua muotoa kutsutaan verkoksi. Voidaan olettaa, että kun hahmon verkko on taitettu oikein oikein, se muodostaa halutun 3D-muodon. Alla olevassa kuvassa näkyy kartion katkaistun verkon verkko.

Kartion palan ominaisuudet

Kartion katkaistun kartion ominaisuudet ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin kartion, joitain kartion katkaistun kartion tärkeitä ominaisuuksia ovat,

• Kartion pohja alkuperäinen kartio sisältyy katkaistun kartion kärkeen, mutta sen kärki ei sisälly katkaistuun kartioon.
• Kartion katkaistun kaavan kaavat riippuvat sen korkeudesta ja kahdesta säteestä (vastaa ylä- ja alapohjaa).
• Kartion katkaistun osan korkeus on sen kahden kannan keskipisteiden välinen kohtisuora etäisyys.

Kaavat Piece of Cone

Frustum of Cone on sellainen muoto, jota näkee usein jokapäiväisessä elämässämme, esimerkiksi pöytävalaisimissa, kauhoissa jne. Tärkeitä kaavoja kartion katkaisulle ovat,

• Kappaleen kartiomäärä
• Pinta-ala Frustum of Cone

Opitaanpa näistä kaavoista yksityiskohtaisesti alla,

Kappaleen kartiomäärä

Frustum of karti on viipaloitu osa kartiosta, jossa pieni kartio poistetaan suuremmasta kartiosta. Siksi katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi tarvitsee vain laskea ero suuremman ja pienemmän kartion tilavuuden välillä.

Oletetaan,

• Kartion kokonaiskorkeus on H + h
• Kallistuksen kokonaiskorkeus on l' + L
• Täydellisen kartion säde on r
• Viipaloidun kartion säde on r'

Koska kartion tilavuus on annettu muodossa V = 1/3πr²h

Koko kartion tilavuus V₁= 1/3πr²(H+h)

Pienen kartion tilavuus V₂=1/3πr'²(h)

Nyt katkaistun kartion tilavuus (V) voidaan laskea kaavalla,

V = V₁- SISÄÄN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr'²(h)

np.log

V = 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Käyttämällä △OCD:n ja △OAB:n kolmioiden samankaltaisuuden ominaisuutta voidaan kirjoittaa,

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

H + h = h / r'

Korvaa tämä arvo (H+h) yhtälössä (1) ja yksinkertaista

V = 1/3π[r²(rh / r') - r'²(h)}

= 1/3π[{hr³- tunti'³} / r']…(2)

Käyttämällä samankaltaisen kolmion ominaisuutta uudelleen △OCD:ssä ja △OAB:ssa saamme selville h:n arvon

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h)r'

Java-haastattelun ydinkysymykset

rh = tunti + tunti

(r -r')h = Hr'

h = Hr' / (r -r')

Korvaa nämä arvot yhtälössä (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r']

= 1/3π[{r³-r'³}h / r']

= 1/3π[{r³-r'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r'²+rr’)

Täten,

Katkaistun kartion tilavuus = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr’)

Pinta-ala Frustum of Cone

Kartion katkaistun pinnan pinta-ala voidaan laskea erotuksen perusteella koko kartion pinta-ala ja pienempi kartio (poistettu täydellisestä kartiosta). Katkaistun kartion pinta-ala voidaan laskea alla olevan kaavion avulla, jossa on laskettava yhteen kaarevien pintojen pinta-alat sekä katkaistun kartion ylä- ja alapinnat.

Kuten katkaistun kartion tilavuus, kaareva pinta-ala on myös yhtä suuri kuin suuremman ja pienemmän kartion pinta-alojen erotus.

Yllä olevassa kuvassa kolmiot OAB ja OCD ovat samanlaisia. Siksi samankaltaisuuskriteereitä käyttäen voidaan kirjoittaa,

l' / l = r' / r…(1)

Koska l’ = l – L, yhtälöstä (1),

(l – L) / l = r’ / r

Ristikertomisen jälkeen

lr – Lr = lr’

l(r – r') = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Täydellisen kartion kaareva pinta-ala = πrl

Pienemmän kartion kaareva pinta-ala = πr’l’

Ero täydellisen ja pienemmän kartion kaarevien pinta-alojen välillä = π (rl – r’l’)

Siten katkaistun kartion kaareva pinta-ala (CSA) = πl (r – r’l’/l)

Käytä yhtälöä (1) korvataksesi l'/l:n arvon yllä olevassa yhtälössä ja yksinkertaistaaksesi

Katkaistun kartion CSA = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²-r'²)/r

Korvaa nyt l:n arvo yhtälöstä (2) ja yksinkertaista,

Katkaistun kartion CSA = πlr/(r – r’)× (r²-r'²)/r = πl (r + r')

Siten voi kirjoittaa,

Kartion katkaistun katkaisun kaareva pinta-ala = πl (r + r’)

Lasketaan nyt katkaistun kartion ylä- ja alapohjan pinta-ala siten, että

Katkaistun kartion yläpohjan pinta-ala, jonka säde on r’ = πr’²

Katkaistun kartion alapohjan pinta-ala, jonka säde on r = πr²

Niin,

Kartion katkaistun osan kokonaispinta-ala = katkaistun kartion kaareva pinta-ala + yläpohjan pinta-ala + alapohjan pinta-ala

Siksi,

Katkaistun kartion kokonaispinta-ala = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Näin ollen katkaistun kartion kokonaispinta-ala on = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Tämä kaava voidaan kirjoittaa myös seuraavasti,

Katkaistun kartion kokonaispinta-ala on = πl (r²-r'²)/r + π (r²+ r'²)

Joten voi kirjoittaa,

Katkaistun kartion kokonaispinta-ala = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

palauttaa taulukon java

tai

Katkaistun kartion kokonaispinta-ala = πl (r ² -r' ² )/r + π (r ² + r' ² )

Huomaa, että l on pienemmän kartion vinon korkeus, joka voidaan antaa

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Lue lisää

• Kartion tilavuus
• Sylinterin tilavuus
• Pallon tilavuus

Ratkaistiin esimerkkejä kartiokappaleesta

Esimerkki 1: Selvitä katkaistun kartion tilavuus, joka on 15 cm korkea ja molempien tyvien säteet ovat 5 cm ja 8 cm.

Ratkaisu:

Yllä tutkittua kaavaa käyttämällä voidaan kirjoittaa,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr’)

Annettu,

H = 15 cm
r’ = 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Esimerkki 2: Selvitä 10 cm korkean kartion katkaistun kartion pinta-ala ja kokonaispinta-ala ja molempien kannan säteet ovat 4 cm ja 8 cm.

Ratkaisu:

Tiedämme katkaistun katkaisun pinta-alan ja kokonaispinta-alan kaavan. Meidän on kytkettävä vaaditut arvot.

Katkaistun katkaisun kaareva pinta-ala = πl(r+r’)

missä,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Annettu,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

L:n arvon laskeminen,

L = √ [10²+ (8–4)²]

= √(100+16) = √(116)

Frustumin kaareva pinta-ala = πL(R+r)

string.replaceall java

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Kokonaispinta-ala = Frustumin kaareva pinta-ala + molempien pohjan pinta-ala

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Esimerkki 3: Oletetaan, että meillä on avoin metallikauha, jonka korkeus on 50 cm ja jalustan säteet ovat 10 cm ja 20 cm. Etsi alue kauhan valmistukseen käytetty metallilevy.

Ratkaisu:

Kauha on katkaistun muotoinen, joka sulkeutuu pohjasta. Meidän on laskettava tämän katkoksen kokonaispinta-ala.

Annettu
H = 50 cm
r = 10 cm
r = 20 cm

Frustumin kaareva pinta-ala = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20–10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Frustumin kaareva pinta-ala = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Kokonaispinta-ala = Frustumin kaareva pinta-ala + molempien pohjan pinta-ala

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Esimerkki 4: Selvitä katkaistun tilavuuden lauseke, jos sen korkeus on 6y ja sen säteet ovat y ja 2y.

Ratkaisu:

Käyttämällä yllä tutkittua kaavaa,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr’)

Annettu,

H = 6 v
r'= y
r = 2v

V = 1/3 π6[(2v)²+ (ja)²+ (y)(2v)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πv³yksikkö³

Usein kysytyt kysymykset aiheesta Piece of Cone

Kysymys 1: Mikä on kartion frustum?

Vastaus:

Kun leikataan kartio siten, että leikkaustaso on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa. Näin saatua lukua kutsutaan kartion katkaisuksi.

Kysymys 2: Mitä ovat Frustum of Cone Formulas?

Vastaus:

Kartion katkaistun katkaisun kaavoja käsitellään alla. Otetaan katkonainen perussäde 'R' ja yläsäde 'r', korkeus 'H' ja vino korkeus sitten,

• Kartion kappaleen tilavuus (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Kartion katkaistun kokonaispinta-ala = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Kysymys 3: Mikä on frustumin CSA?

Vastaus:

Kartion katkaistun pinnan kaareva pinta-ala lasketaan kaavalla,

CSA = πl (r + r')

missä,
r' on katkaistun ylemmän ympyrän säde
r on säteen kanta
l on vinon korkeus

Kysymys 4: Mikä on kartion Frustumin pinta-ala?

Vastaus:

Kartion katkaistun pinnan pinta-ala lasketaan kaavalla,

sarja postgresissa

• Kartion palan CSA = πl [ (r²-r'²) / r' ]
• Kartion katkaistun TSA = π (r²+ r'²) + πl [ (r²-r'²) / r']

Kysymys 5: Mikä on Frustum of Cone tilavuus?

Vastaus:

Kartion katkaistun osan tilavuus lasketaan kaavalla,

• V = 1/3πh[ (r³-r'³) / r']
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)