A Hyperbeli on tasainen käyrä tasossa, jossa on kaksi toisiaan heijastavaa haaraa, jotka muistuttavat kahta ääretöntä jousta. Se on kartioleikkaus, joka on muodostettu leikkaamalla suora pyöreä kartio tasoon, joka on sellaisessa kulmassa, että kartion molemmat puolikkaat leikkaavat.

Opitaanpa Hyperbolasta yksityiskohtaisesti, mukaan lukien sen yhtälö, kaavat, ominaisuudet, kaaviot ja johtaminen.

Hyperbeli

Sisällysluettelo

• Mikä on Hyperbola?
• Hyperbolan määritelmä
• Hyperbola-yhtälö
• Hyperbolan osat
• Hyperbola-epäkeskisyys
• Hyperbolan standardiyhtälö
• Hyperbolan oikea puoli
• Hyperbolayhtälön johtaminen
• Hyperbola kaava
• Hyperbolan kaavio
• Konjugaattihyperbola
• Hyperbolan ominaisuudet
• Hyperbolan apupiirit
• Suorakaiteen muotoinen hyperbola
• Hyperbolan parametrinen esitys
• Hyperbola luokka 11
• Ratkaistut esimerkit Hyperbolasta
• Hyperbolan harjoitteluongelmat

Mikä on Hyperbola?

Hyperbola on niiden pisteiden paikka, joiden etäisyyksien ero kahdesta polttopisteestä on kiinteä arvo. Tämä ero saadaan vähentämällä lähemmän tarkennuksen etäisyys kauempana olevan tarkennuksen etäisyydestä.

Jos P (x, y) on hyperbelin piste ja F, F' ovat kaksi polttopistettä, niin hyperabelin paikka on

PF – PF' = 2a

Huomautus: Katso kuvan johdosta lisätty kaavio.

Hyperbolan määritelmä

Analyyttisessä geometriassa hyperbola on eräänlainen kartioleikkaus, joka syntyy, kun taso leikkaa kaksoissuoran ympyräkartion molempien puoliskojen läpi kulmassa . Tämä leikkaus johtaa kahteen erilliseen, rajaamattomaan käyrään, jotka ovat peilikuvia toisistaan ​​ja muodostavat hyperbolin.

Hyperbola-yhtälö

Hyperbolin yhtälö vakiomuodossaan riippuu sen suunnasta ja siitä, onko se keskitetty origoon vai johonkin toiseen pisteeseen. Tässä on kaksi lähtökohtaan keskitettyjen hyperbolien ensisijaista muotoa, joista toinen avautuu vaakasuoraan ja toinen pystysuoraan:

x ² /a ² - ja ² /b ² = 1

Tämä yhtälö edustaa hyperbolia, joka avautuu vasemmalle ja oikealle. Pisteet (±a,0) ovat hyperbolin kärkipisteitä, jotka sijaitsevat x-akselilla.

Hyperbolan osat

Hyperbola on kartioleikkaus, joka syntyy, kun taso leikkaa kaksoissuoraa ympyräkartiota kulmassa siten, että kartion molemmat puolikkaat liittyvät toisiinsa. Sitä voidaan kuvata käyttämällä käsitteitä, kuten foci, directrix, latus rectum ja eksentrisyys.

Hyperbola-epäkeskisyys

Hyperbolin epäkeskisyys on pisteen etäisyyden etäisyydestä polttopisteestä sen kohtisuoraan etäisyyteen suuntaviivasta. Se on merkitty kirjaimella ' se on '.

• Hyperbolin epäkeskisyys on aina suurempi kuin 1, eli e>1.
• Voimme helposti löytää hyperbelin epäkeskisyyden kaavalla:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

missä,

• a on puolipääakselin pituus
• b on puolipieniakselin pituus

Lue lisää: Epäkeskisyys

Hyperbolan standardiyhtälö

Hyperbolin standardiyhtälöt ovat:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

TAI

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hyperbolalla on kaksi vakioyhtälöä. Nämä hyperbolin yhtälöt perustuvat sen poikkiakseliin ja konjugaattiakseliin.

java lisäysmerkkijono

• Hyperbolin standardiyhtälö on [(x²/a²) - (ja²/b²)] = 1, jossa X-akseli on poikittaisakseli ja Y-akseli on konjugaattiakseli.
• Lisäksi toinen hyperbelin standardiyhtälö on [(y²/a²)- (x²/b²)] = 1, jossa Y-akseli on poikittaisakseli ja X-akseli on konjugaattiakseli.
• Hyperbolin standardiyhtälö, jonka keskipiste (h, k) ja X-akseli on poikittaisakseli ja Y-akseli konjugaattiakselina on,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Lisäksi toinen standardiyhtälö hyperbolista, jonka keskipiste (h, k) ja Y-akseli poikittaisena akselina ja X-akseli konjugaattiakselina on

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Hyperbolan oikea puoli

Hyperbolin peräsuole on viiva, joka kulkee minkä tahansa hyperbelin polttopisteen läpi ja on kohtisuorassa hyperbolin poikkiakseliin nähden. Latus rectumin päätepisteet ovat hyperbolissa ja sen pituus on 2b²/a.

Hyperbolayhtälön johtaminen

Tarkastellaan hyperbelin pistettä P, jonka koordinaatit ovat (x, y). Hyperbolin määritelmästä tiedämme, että pisteen P etäisyys kahdesta polttopisteestä F ja F’ on 2a, eli PF’-PF = 2a.

Olkoon polttopisteiden koordinaatit F (c, o) ja F ‘(-c, 0).

Nyt koordinaattietäisyyskaavaa käyttämällä voimme löytää pisteen P (x, y) etäisyyden polttopisteisiin F (c, 0) ja F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (ja – 0)²] – √[(x – c)²+ (ja – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ ja²] = 2a + √[(x - c)²+ ja²]

Nyt, neliöimällä molemmat puolet, saamme

(x + c)²+ ja²= 4a²+ (x – c)²+ ja²+ 4a√[(x – c)²+ ja²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ ja²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ ja²]

Nyt neliöimällä molemmin puolin ja yksinkertaistamalla saamme

[(x²/a²) - (ja²/(c²– a²))] = 1

Meillä on, c²= a²+ b², joten korvaamalla tämä yllä olevassa yhtälössä, saamme

x²/a²- ja²/b²= 1

Siten johdetaan hyperbelin standardiyhtälö.

Samalla tavalla voimme johtaa toisen hyperbolin standardiyhtälöt, eli [y²/a²– x²/b²] = 1

Hyperbola kaava

Seuraavia hyperbolakaavoja käytetään laajalti hyperbolin eri parametrien löytämisessä, mukaan lukien hyperbelin yhtälö, suur- ja sivuakseli, epäkeskisyys, asymptootit, kärkipiste, polttopiste ja puolipituinen peräsuole.

Missä,

• (x₀ja₀​) on keskipiste
• a on puolipääakseli
• b on puoliksi sivuakseli.

Hyperbolan kaavio

Hyperbola on käyrä, jossa on kaksi rajatonta käyrää, jotka ovat peilikuvia toisistaan. Hyperbolin kaavio näyttää tuon käyrän 2D-tasossa. Voimme tarkkailla hyperbelin eri osia hyperbolikaavioissa alla oleville standardiyhtälöille:

Hyperbolan yhtälö	Hyperbolan kaavio	Hyperbolan parametrit
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Keskustan koordinaatit: (0, 0) Huippupisteen koordinaatit: (a, 0) ja (-a, 0) Polttopisteiden koordinaatit: (c, 0) ja (-c, 0) Poikittaisakselin pituus = 2a Konjugaattiakselin pituus = 2b Peräsuolen latuksen pituus = 2b2/a Asymptoottien yhtälöt: y = (b/a) x ja y = -(b/a) x Epäkeskisyys (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Keskustan koordinaatit: (0, 0) Huippupisteen koordinaatit: (0, a) ja (0, -a) Polttopisteiden koordinaatit: (0, c) ja (0, -c) Poikittaisakselin pituus = 2b Konjugaattiakselin pituus = 2a Peräsuolen latuksen pituus = 2b2/a Asymptoottien yhtälöt: y = (a/b) x ja y = -(a/b) x Epäkeskisyys (e) = √[1 + (b2/a2)]

Konjugaattihyperbola

Konjugaattihyperbola on 2 hyperbolia siten, että yhden hyperbolin poikittais- ja konjugaattiakselit ovat vastaavasti toisen hyperbolin konjugaatti- ja poikittaisakselit.

Konjugaattihyperbola (x²/a²) - (ja²/b²) = 1 on,

(x ² /a ² ) - (ja ² / b ² ) = 1

Missä,

• a on puolisuurakseli
• b on Semi-minor-akseli
• se on on paraabelin eksentrisyys
• a ² = b ² (Se on ² -1)

Hyperbolan ominaisuudet

• Jos hyperbolin ja sen konjugaatin epäkeskisyydet ovat e₁, ja e₂sitten,

(1 ja ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• Hyperbolin ja sen konjugaatin polttopisteet ovat konsyklisiä ja muodostavat neliön kärjet.
• Hyperbolat ovat samanarvoisia, jos niillä on sama latus rectum.

Hyperbolan apupiirit

Apuympyrä on ympyrä, joka on piirretty keskipisteellä C ja halkaisijalla hyperbolin poikkiakselina. Hyperboliyhtälön apuympyrä on,

x ² + ja ² = a ²

Suorakulmainen hyperbola

Hyperbolaa, jonka poikittaisakseli on 2a yksikköä ja konjugaattiakseli 2b yksikköä yhtä pitkä, kutsutaan suorakulmaiseksi hyperboliksi. eli suorakaiteen muotoisessa hyperbolissa,

2a = 2b

⇒ a = b

Suorakulmaisen hyperbolin yhtälö on annettu seuraavasti:

x ² - ja ² = a ²

Huomautus: Suorakulmaisen hyperbolin epäkeskisyys on √2.

Hyperbolan parametrinen esitys

Hyperbolan apuympyröiden parametrinen esitys on:

x = a sec θ, y = b tan θ

Ihmiset myös lukevat

• Kartiomainen osa
• Paraabeli
• Ympyrä
• Ellipsi

Hyperbola luokka 11

Luokan 11 matematiikassa hyperbolien tutkiminen on osa analyyttisen geometrian kartioleikkauksia. Hyperbolien ymmärtäminen tällä tasolla edellyttää niiden määritelmän, standardiyhtälöiden, ominaisuuksien ja niihin liittyvien eri elementtien tutkimista.

Luokan 11 opetussuunnitelmaan kuuluu tyypillisesti näiden yhtälöiden ja ominaisuuksien johtaminen, hyperbolien luonnosteleminen annettujen yhtälöiden perusteella sekä hyperbelin elementteihin ja asentoihin liittyvien ongelmien ratkaiseminen. Näiden käsitteiden hallinta tarjoaa vahvan perustan analytiikkaan geometria , valmistaa opiskelijoita matematiikan ja siihen liittyvien alojen jatko-opintoihin.

Yhteenveto – Hyperbola

Hyperbola on kartioleikkauksen tyyppi, joka muodostuu, kun taso leikkaa kartion sellaisessa kulmassa, että muodostuu kaksi erillistä käyrää. Hyperbolalle on ominaista peilisymmetria, ja se koostuu kahdesta erillään olevasta haarasta, jotka kumpikin kaartuvat poispäin toisistaan. Se voidaan määritellä matemaattisesti koordinaattitasossa käyttämällä standardiyhtälöä, joka vaihtelee sen suunnan mukaan – joko vaaka- tai pystysuorassa – ja sen mukaan, onko sen keskipiste origossa vai jossain muussa pisteessä.

Vakiolomakkeet ovat x ² /a ² - ja ² /b ² = 1 hyperbola-aukkoa varten vaakasuunnassa ja ja ² /a ² – x ² /b ² = 1 yhdelle aukolle pystysuunnassa muunnelmilla keskipisteen siirtämiseksi kohtaan (h,k). Hyperbolien tärkeimpiä ominaisuuksia ovat kärjet, kunkin haaran keskustaa lähimmät pisteet; polttopisteet, pisteet, joista etäisyyksillä mihin tahansa hyperbelin pisteeseen on jatkuva ero; ja asymptootit, viivat, joita oksat lähestyvät, mutta eivät koskaan kosketa.

Hyperbolien ominaisuudet tekevät niistä merkittäviä eri aloilla, mukaan lukien tähtitiede, fysiikka ja tekniikka, hyperbolisten liikeratojen ja käyttäytymisen mallintamiseen ja analysointiin.

Ratkaistut esimerkit Hyperbolasta

Kysymys 1: Määritä hyperbolin x epäkeskisyys ² /64 – ja ² /36 = 1.

Ratkaisu:

Hyperbolin yhtälö on x²/64 – ja²/36 = 0

Vertaamalla annettua yhtälöä hyperbolin x standardiyhtälöön²/a²- ja²/b²= 1, saamme

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Meillä on,

Hyperbolin epäkeskisyys (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

javan objekti

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Tästä syystä annetun hyperbolin epäkeskisyys on 1,25.

Kysymys 2: Jos hyperbelin yhtälö on [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, laske pääakselin, sivuakselin ja latus rectumin pituudet.

Ratkaisu:

Hyperbolan yhtälö on [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Vertaamalla annettua yhtälöä hyperbelin standardiyhtälöön, (x – h)²/a²– (ja – k)²/b²= 1

Tässä x = 4 on pääakseli ja y = 3 on sivuakseli.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Pääakselin pituus = 2a = 2 × (5) = 10 yksikköä

Sivuakselin pituus = 2b = 2 × (3) = 6 yksikköä

Latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 yksikköä

Kysymys 3: Etsi kärkipiste, asymptootti, pääakseli, sivuakseli ja suuntaviiva, jos hyperboliyhtälö on [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Ratkaisu:

Hyperbolan yhtälö on [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Vertaamalla annettua yhtälöä hyperbelin standardiyhtälöön, (x – h)²/a²– (ja – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Hyperbolin huippupiste: (h + a, k) ja (h – a, k) = (13, 2) ja (-1, 2)

Hyperbolan pääakseli on x = h x = 6

Hyperbolan pieni akseli on y = k y = 2

Hyperbolan asymptoottien yhtälöt ovat

y = k − (b / a)x + (b / a)h ja y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 ja y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 ja y = 2 + 0,57x - 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x ja y = -1,43 + 0,57x

Hyperbolin suuntaviivan yhtälö on x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Kysymys 4: Etsi sen hyperbolin epäkeskisyys, jonka latus rectum on puolet sen konjugaattiakselista.

Ratkaisu:

Latus rectumin pituus on puolet sen konjugaattiakselista

Olkoon hyperbelin yhtälö [(x²/a²) - (ja²/ b²)] = 1

Konjugaattiakseli = 2b

Latus peräsuolen pituus = (2b²/a)

Annetuista tiedoista (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Meillä on,

Hyperbolin epäkeskisyys (e) = √[1 + (b²/a²)]

Korvaa nyt a = 2b epäkeskisyyden kaavassa

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Näin ollen vaadittu epäkeskisyys on √5/2.

Hyperbolan harjoitteluongelmat

P1. Etsi vakiomuotoyhtälö hyperbolille, jonka kärjet ovat (-3, 2) ja (1, 2) ja polttoväli 5.

P2. Määritä hyperbolin keskipiste, kärjet ja polttokohdat yhtälöllä 9x ² – 4v ² = 36.

P3. Annettu hyperbola yhtälöllä (x – 2) ² /16 – (ja + 1) ² /9 = 1, etsi sen keskipisteen, kärkien ja polttopisteiden koordinaatit.

P4. Kirjoita hyperbolin yhtälö vaakasuuntaisella pääakselilla, jonka keskipiste on (0, 0), kärki kohdassa (5, 0) ja fokus on (3, 0).

Hyperbola – UKK

Mikä on hyperbola matematiikassa?

Hyperbolaksi kutsutaan sellaisen pisteen paikkaa tasossa, jossa sen etäisyyden suhde kiinteästä pisteestä kiinteään viivaan nähden on vakio, joka on suurempi kuin 1.

Mikä on standardihyperbolayhtälö?

Hyperbolan standardiyhtälö on

(x ² /a ² ) - (ja ² /b ² ) = 1

Mikä on hyperbolan eksentrisyys?

Hyperbolan epäkeskisyys on pisteen etäisyyden etäisyydestä polttopisteestä sen kohtisuoraan etäisyyteen suuntaviivasta. Hyperbolalle epäkeskisyys on aina suurempi kuin 1.

Mikä on hyperbolan epäkeskisyyskaava?

Hyperbolan eksentrisyyden kaava on e = √(1 + (b ² /a ² ))

Mitä ovat Foci Hyperbolasta?

Hyperbolalla on kaksi polttopistettä. Hyperbolille (x²/a²) - (ja²/b²) = 1, polttopisteet ovat (ae, 0) ja (-ae, 0)

Mikä on hyperbolan poikittaisakseli?

Hyperbolalle (x²/a²) - (ja²/b²) = 1, poikittaisakseli on x-akselilla. Sen pituus on 2a. Hyperbolin keskipisteen ja polttopisteiden läpi kulkevaa suoraa kutsutaan hyperbolin poikkiakseliksi.

Mitä ovat hyperbolan asymptootit?

Hyperbolin suuntaisia ​​viivoja, jotka kohtaavat hyperbolin äärettömyydessä, kutsutaan hyperbelin asymptooteiksi.

Kuinka monta Asymptoottia Hyperbolalla on?

Hyperbolalla on 2 asymptoottia. Asymptootit on hyperbelin viivatangentti, joka kohtaa hyperbolin äärettömässä.

Mihin Hyperbolaa käytetään?

Hyperbolat löytävät sovelluksia useilla aloilla, kuten tähtitiede, fysiikka, tekniikka ja taloustiede. Niitä käytetään muun muassa satelliittien liikenteessä, radiolähetyskuvioissa, tykistökohdistuksessa, taloudellisessa mallintamisessa ja taivaan mekaniikassa.

Mitä eroa on paraabelilla ja hyperbolalla vakiomuodossa?

Vakiomuodossa paraabelin yhtälö sisältää termejä, jotka on korotettu potenssiin 1 ja 2, kun taas hyperabelin yhtälö sisältää termejä, jotka on korotettu potenssiin 2 ja -2. Lisäksi paraabelille on ominaista yksi tarkennuspiste, kun taas hyperbolalla on kaksi.

Mikä on hyperbolagraafin perusyhtälö?

Hyperbolagraafin perusyhtälö on:

(x – h)²/a²– (ja – k)²/ b²= 1

Tai

(ja – k)²/ b²– (x -h)²/a²= 1

Mitkä ovat hyperbolatyypit?

Hyperbolit voidaan luokitella kolmeen tyyppiin niiden suunnan perusteella: vaaka-, pysty- ja vinohyperbolit.

Kuinka tunnistat hyperbola-yhtälön?

Hyperbolayhtälö sisältää tyypillisesti termejä molemmilla x ja ja muuttujia, joiden neliöiden välinen ero on x ja ja kertoimet, ja näiden termien kertoimet ovat positiivisia ja negatiivisia.

Mikä on B:n kaava hyperbelissä?

Hyperboliyhtälön vakiomuodossa, B edustaa konjugaattiakselin pituutta, ja sen kaava on B = 2 b , missä b on etäisyys keskustasta konjugaattiakselin kärkipisteisiin.

Kuinka piirtää hyperbola?

Hyperbolin piirtäminen aloitetaan yleensä piirtämällä keskipiste ja merkitään sitten kärjet, fokukset, asymptootit ja muut avainpisteet annetun yhtälön tai ominaisuuksien perusteella. Piirrä lopuksi hyperbelin käyrät käyttämällä näitä pisteitä ohjeina.