Paikalliset Maxima ja Minima viittaavat funktioiden pisteisiin, jotka määrittelevät funktion korkeimman ja alimman alueen. Funktion derivaatta voidaan käyttää paikallisten maksimien ja paikallisten minimien laskemiseen. Paikalliset maksimit ja minimit löytyvät käyttämällä sekä ensimmäistä johdannaistestiä että toista johdannaistestiä.

Tässä artikkelissa käsittelemme Local Maximan ja Miniman johdatusta, määritelmää ja tärkeää terminologiaa ja niiden merkitystä. Ymmärrämme myös erilaisia ​​menetelmiä paikallisten maksimien ja minimien laskemiseen matematiikassa ja laskenta . Ratkaisemme myös erilaisia ​​esimerkkejä ja tarjoamme käytännön kysymyksiä ymmärtääksemme tämän artikkelin käsitteen paremmin.

Sisällysluettelo

• Mikä on Local Maxima ja Local Minima?
• Paikallisten maksimien ja paikallisten minimien määritelmä
• Paikallisiin Maximoihin ja Paikallisiin Minimiin liittyvät ehdot
• Kuinka löytää paikallisia Maxima ja Minima?
• Esimerkkejä Local Maxima ja Local Minima

Mikä on Local Maxima ja Local Minima?

Paikallisia maksimi- ja minimiarvoja kutsutaan maksimi- ja minimiarvoiksi tietyllä aikavälillä. Paikallinen maksimi esiintyy, kun a:n arvot toiminto tietyn pisteen lähellä ovat aina pienempiä kuin funktion arvot samassa pisteessä. Paikallisten minimien tapauksessa tietyn pisteen lähellä olevan funktion arvot ovat aina suurempia kuin funktion arvot samassa pisteessä.

Yksinkertaisessa mielessä pistettä kutsutaan paikalliseksi maksimiksi, kun funktio saavuttaa suurimman arvonsa tietyllä aikavälillä, ja pistettä kutsutaan paikalliseksi minimiksi, kun funktio saavuttaa alimman arvonsa tietyllä aikavälillä.

Jos esimerkiksi menet mäkiselle alueelle ja seisot kukkulan huipulla, sitä pistettä kutsutaan Local Maxima -pisteeksi, koska olet ympäristösi korkeimmalla kohdalla. Vastaavasti, jos seisot joen tai meren alimmassa kohdassa, sitä kutsutaan paikalliseksi minimipisteeksi, koska olet ympäristösi alimmassa pisteessä.

Paikallisten maksimien ja paikallisten minimien määritelmä

Paikalliset maksimit ja minimit ovat minkä tahansa funktion alkuarvoja saadakseen käsityksen sen rajoista, kuten korkeimmista ja pienimmistä lähtöarvoista. Local Minima ja Local Maxima kutsutaan myös nimellä Local Extrema.

Paikallinen Maxima

Paikallinen Maxima -piste on minkä tahansa funktion piste, jossa funktio saavuttaa maksimiarvonsa tietyllä aikavälillä. Funktion f (a) pistettä (x = a) kutsutaan paikalliseksi maksimiksi, jos f(a):n arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki funktion f(x) arvot.

taulukoita javassa

Matemaattisesti f (a) ≥ f (a -h) ja f (a) ≥ f (a + h), missä h> 0, niin a kutsutaan paikalliseksi maksimipisteeksi.

Paikallinen minimi

Paikallinen minimipiste on minkä tahansa funktion piste, jossa funktio saavuttaa minimiarvonsa tietyn aikavälin sisällä. Funktion f (a) pistettä (x = a) kutsutaan paikalliseksi minimiksi, jos f(a):n arvo on pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki funktion f(x) arvot.

Matemaattisesti f (a) ≤ f (a -h) ja f (a) ≤ f (a + h), missä h> 0, niin a kutsutaan paikalliseksi minimipisteeksi.

Paikallisiin Maximoihin ja Paikallisiin Minimiin liittyvät ehdot

Paikallisiin Maximoihin ja Minimiin liittyvät tärkeät terminologiat käsitellään alla:

Suurin arvo

Jos jokin funktio antaa suurimman lähtöarvon x:n tuloarvolle. Tätä x:n arvoa kutsutaan maksimiarvoksi. Jos se on määritelty tietyllä alueella. Sitten sitä kohtaa kutsutaan Paikallinen Maxima .

Absoluuttinen maksimi

Jos jokin funktio antaa suurimman lähtöarvon x:n tuloarvolle funktion koko alueella. Tätä x:n arvoa kutsutaan absoluuttiseksi maksimiksi.

Minimiarvo

Jos jokin funktio antaa minimilähtöarvon x:n tuloarvolle. Tätä x:n arvoa kutsutaan minimiarvoksi. Jos se on määritelty tietyllä alueella. Sitten sitä kohtaa kutsutaan Paikallinen minimi .

Absoluuttinen minimi

Jos jokin funktio antaa minimilähtöarvon x:n tuloarvolle funktion koko alueella. Tätä x:n arvoa kutsutaan absoluuttiseksi minimiksi.

Kääntymispiste

Jos x:n arvo tietyn funktion alueella ei näytä korkeinta ja pienintä lähtöä, sitä kutsutaan käänteispisteeksi.

Lisätietoja, Absoluuttinen Maxima ja Minima

Kuinka löytää paikallisia Maxima ja Minima?

Paikalliset maksimit ja minimit määritetään vain tietylle alueelle, ne eivät ole koko toiminnon enimmäis- ja minimiarvot eivätkä koske toiminnon koko aluetta.

Paikallisten maksimien ja minimien laskemiseen on seuraava lähestymistapa. Nämä ovat:

• Ensimmäisessä vaiheessa otamme funktion derivaatan.

• Toisessa vaiheessa asetamme derivaatan nollaksi ja laskemme c:n kriittiset pisteet.

• Kolmannessa vaiheessa käytämme Ensimmäinen johdannainen ja Toinen johdannaistesti paikallisen maksimin ja paikallisen minimin määrittämiseksi.

Mikä on ensimmäinen johdannaistesti?

Ensin otetaan funktion ensimmäinen derivaatta, joka antaa funktion kulmakertoimen. Kun pääsemme lähemmäksi maksimipistettä, funktion kaltevuus kasvaa, tulee sitten nollaksi maksimipisteessä ja pienenee sen jälkeen poistuessamme siitä.

Samoin minimipisteessä, kun lähestymme minimipistettä, käyrän kaltevuus pienenee, muuttuu sitten nollaksi minimipisteessä ja sen jälkeen kasvaa poistuessamme siitä pisteestä.

Otetaan funktio f(x), joka on jatkuva kriittisessä pisteessä c avoimella aikavälillä I, ja f'(c) = 0 tarkoittaa jyrkkyyttä kriittisessä pisteessä c = 0.

Tarkistaaksemme f'(x):n luonteen kriittisen pisteen c ympärillä, meillä on seuraavat ehdot paikallisen maksimin ja minimin arvon määrittämiseksi ensimmäisestä derivaatatestistä. Nämä ehdot ovat:

• Jos f ′(x) muuttaa etumerkkiä positiivisesta negatiiviseksi x:n kasvaessa c:n kautta, niin f(c) näyttää kyseisen funktion suurimman arvon annetulla alueella. Näin ollen piste c on Local Maxima -piste, jos ensimmäinen derivaatta f ‘(x)> 0 missä tahansa pisteessä riittävän lähellä c:n vasemmalla puolella ja f ’(x) <0 missä tahansa pisteessä riittävän lähellä c:n oikealla puolella.

• Jos f ′(x) muuttaa etumerkkiä negatiivisesta positiiviseksi x:n kasvaessa c:n kautta, niin f(c) näyttää funktion pienimmän arvon annetulla alueella. Näin ollen piste c on paikallinen minimipiste, jos ensimmäinen derivaatta f ‘(x) 0 missä tahansa pisteessä riittävän lähellä c:n oikealla puolella.

• Jos f'(x) ei muuta etumerkkiä merkittävästi x:n kasvaessa c:n kautta, piste c ei näytä funktion suurinta (Local Maxima) ja alinta (Local Minima) arvoa. Tällöin piste c on nimeltään käännepiste.

Lue lisää aiheesta Ensimmäinen johdannaisten testi .

Mikä on toinen johdannaistesti?

Toista derivaatan testiä käytetään minkä tahansa funktion absoluuttisen maksimin ja absoluuttisen minimin arvon selvittämiseen tietyllä aikavälillä. Otetaan funktio f(x), joka on jatkuva kriittisessä pisteessä c avoimella aikavälillä I ja f'(c) = 0, tarkoittaa jyrkkyyttä kriittisessä pisteessä c = 0. Tässä otetaan toinen derivaatta f (x) funktiosta f(x), joka antaa funktion kulmakertoimen.

F'(x:n) luonteen tarkistamiseksi meillä on seuraavat ehdot paikallisen maksimin ja minimin arvon määrittämiseksi toisesta derivaatatestistä. Nämä ehdot ovat:

• Piste c on Local Maxima -piste, jos ensimmäinen derivaatta f'(c) = 0 ja toinen derivaatta f(c) <0. Piste kohdassa x= c on paikallinen maksimi ja f(c) on f(x:n) paikallinen maksimiarvo.

• Piste c on paikallinen minimipiste, jos ensimmäinen derivaatta f'(c) = 0 ja f(c) toinen derivaatta> 0. Piste kohdassa x= c on paikallinen minimi ja f(c) on paikallinen minimi. Paikallinen minimiarvo f(x).

• Testi epäonnistuu, jos ensimmäinen derivaatta f'(c) = 0 ja toinen derivaatta f(c) = 0, piste c ei näytä funktion suurinta (Local Maxima) ja alinta (Local Minima) arvoa , Tässä tapauksessa pistettä c kutsutaan käännepisteeksi ja pistettä x = c kutsutaan nimellä Käännepiste.

Myös Tarkista

• Johdannaisten soveltaminen
• Suhteellinen Maxima ja Minima
• Eriyttämis- ja integraatiokaava

Esimerkkejä Local Maxima ja Local Minima

Esimerkki 1: Analysoi funktion f(x) = 2x paikallinen maksimi ja paikallinen minimi ³ – 3x ² – 12x + 5 käyttämällä ensimmäistä derivaatatestiä.

Ratkaisu:

Annettu funktio on f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Ensimmäinen funktion derivaatta on f'(x) = 6x²– 6x – 12, se käyttää kriittisten pisteiden selvittämiseen.

Kriittisen pisteen löytämiseksi f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Siksi kriittiset pisteet ovat x = -1 ja x = 2.

Analysoi ensimmäinen derivaatta kriittiseen pisteeseen x = -1. Pisteet ovat {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 ja f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Derivaatan merkki on positiivinen x = -1:n vasemmalla puolella ja negatiivinen oikealla. Siten se osoittaa, että x = -1 on Paikallinen Maxima.

Analysoidaan nyt Ensimmäinen derivaatta kriittiseen pisteeseen x = 2. Pisteet ovat {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 ja f'(3) = 6(9 + -3 - 2) = 6(4) = +24

objekti java-ohjelmoinnissa

Derivaatan etumerkki on negatiivinen x = 2:n vasemmalla puolella ja positiivinen oikealla. Siten se osoittaa, että x = 2 on paikallinen minimi.

Siksi paikallinen maksimi on -1 ja paikallinen minimi on 2.

Esimerkki 2: Analysoi funktion f(x) = -x paikallinen maksimi ja paikallinen minimi ³ +6x ² -12x +10 käyttämällä toista derivaattatestiä.

Ratkaisu:

Annettu funktio on f(x) = -x³+6x²-12x +10

Ensimmäinen funktion derivaatta on f'(x) = -x³+6x²-12x +10, se käyttää kriittisten pisteiden selvittämiseen.

Kriittisen pisteen löytämiseksi f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1) (x – 3) = 0

Siksi kriittiset pisteet ovat x = 1 ja x = 3

Ota nyt funktion toinen derivaatta,

f(x) = 6x – 12

Arvioi f(x) kriittisessä pisteessä x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, ja siten x = 1 vastaa paikallista Maximaa.

Arvioi f(x) kriittisessä pisteessä x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, ja siten x = 3 vastaa paikallista minimiä.

Nyt laskemme funktioarvot kriittisissä pisteissä:

f(1) = (1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, Siksi paikallinen maksimi on (1, 3)

f(3) = (3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, Siksi paikallinen maksimi on (3, 1)

Harjoittele kysymyksiä Local Minimasta ja Maximasta

Q1. Etsi funktion f(x) = 2×3 – 3x paikallinen maksimi ja paikallinen minimi²-12x +5 käyttämällä toista derivaattatestiä.

mikä on desktop ini

Q2. Etsi ja analysoi funktion f(x) = – x Local Maxima ja Local Minima²+4x -5 käyttämällä toista derivaattitestiä.

Q3. Etsi funktion f(x) = x paikallinen maksimi ja paikallinen minimi²-4x +5 käyttämällä ensimmäistä derivaatatestiä.

Q4. Etsi ja analysoi funktion f(x) = 3x paikallinen maksimi ja paikallinen minimi²-12x +5 käyttämällä ensimmäistä derivaatatestiä.

Q5. Etsi ja analysoi funktion f(x) = x Local Maxima ja Local Minima³– 6x²+9x + 15 käyttämällä ensimmäistä derivaatatestiä.

Q6. Etsi ja analysoi funktion f(x) = 2x Local Maxima ja Local Minima³-9x²+12x +5 käyttämällä toista derivaattitestiä.

Paikallinen Maxima ja Local Minima – UKK

Mikä on Local Maxima?

Pistettä kutsutaan paikalliseksi maksimaksi, kun funktio saavuttaa suurimman arvonsa tietyllä aikavälillä.

Kuinka voit löytää paikallisen maksimin?

Erottamalla funktio ja etsimällä kriittisen arvon, jossa kaltevuus on nolla, voimme löytää paikallisen maksimin.

Mikä on Local Minima?

Pistettä kutsutaan paikalliseksi minimiksi, kun funktio saavuttaa alimman arvonsa tietyllä aikavälillä.

Mitä menetelmiä voit käyttää paikallisten maksimien ja paikallisten minimien laskemiseen?

Ensimmäinen johdannaistesti ja toinen johdannaistesti.

Mitä eroa on ensimmäisen johdannaistestin ja toisen johdannaistestin välillä?

Ensimmäinen derivaattitesti on likimääräinen menetelmä lLcal maksimien ja paikallisten minimien arvon laskemiseen ja toinen derivaatan testi on systemaattinen ja tarkka menetelmä paikallisten maksimien ja paikallisten minimien arvon laskemiseen.

Mitä käänteispiste tarkoittaa?

Jos pisteen arvo tietyn funktion alueella ei näytä korkeinta ja alhaisinta lähtöä, sitä pistettä kutsutaan inversiopisteeksi.

Mikä on paikallisten Maximojen ja paikallisten minimien käyttö?

Selvittääksesi funktion ääriarvon tietyllä alueella.