Tässä artikkelissa aiomme keskustella symmetrisestä erosta kahden joukon välillä. Täällä keskustelemme myös kahden joukon välisen symmetrisen eron ominaisuuksista.
Toivottavasti tämä artikkeli auttaa sinua ymmärtämään kahden joukon välisen symmetrisen eron.
Mikä on symmetrinen ero?
Toinen eron muunnelma on symmetrinen ero. Oletetaan, että on kaksi joukkoa, A ja B. Molempien joukkojen A ja B välinen symmetrinen ero on joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka ovat molemmissa joukoissa yhteisiä alkioita lukuun ottamatta.
Kahden joukon välistä symmetristä eroa kutsutaan myös nimellä disjunktiivinen liitto . Kahden joukon välinen symmetrinen ero on joukko elementtejä, jotka ovat molemmissa joukoissa, mutta eivät niiden leikkauskohdassa. Kahden joukon A ja B välinen symmetrinen ero on esitetty A D B tai A ? B .
Voimme ymmärtää sen esimerkkien kautta.
Esimerkki1 Oletetaan, että on kaksi joukkoa, joissa on joitain elementtejä.
Aseta A = {1, 2, 3, 4, 5}
Joukko B = {3, 5}
Joten symmetrinen ero annettujen joukkojen A ja B välillä on {1, 2, 4}
Tai voimme sanoa niin A Δ B = {1, 2, 4} .
Esimerkki2 Oletetaan, että on kaksi joukkoa, joissa on joitain elementtejä.
Joukko A = {a, b, c, k, m, n}
Joukko B = {c, n}
Joten symmetrinen ero annettujen joukkojen A ja B välillä on {a, b, k, m}
Tai voimme sanoa niin A Δ B = {a, b, k, m} .
Alla olevassa Venn-kaaviossa näet symmetrisen eron näiden kahden joukon välillä.
Ihonvärillä varjostettu osa yllä olevassa Venn-kaaviossa on symmetrinen ero annettujen joukkojen välillä, ts. A D B .
Katsotaanpa joitain kahden joukon välisen symmetrisen eron ominaisuuksia.
Ominaisuudet
On joitain symmetrisen eron ominaisuuksia, jotka on lueteltu seuraavasti;
- Symmetrinen ero voidaan esittää molempien suhteellisten komplementtien liittona, ts.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Kahden joukon välinen symmetrinen ero voidaan ilmaista myös kahden joukon liittona miinus niiden välinen leikkauspiste -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Symmetrinen ero on kommutatiivinen ja assosiatiivinen -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Tyhjä joukko on neutraali (matematiikassa neutraalin elementin sanotaan olevan erityinen elementti, joka yhdistettynä mihin tahansa joukon elementtiin binäärioperaation suorittamiseksi jättää elementin ennalleen. Se tunnetaan myös nimellä Identiteettielementti ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Jos joukko A on yhtä suuri kuin joukko B, niin symmetrinen ero molempien joukkojen välillä on -
A Δ B = ∅ {kun A = B}
'Kahden joukon välinen symmetrinen ero' v/s 'Kahden joukon välinen ero'
Ero kahden sarjan välillä
Kahden joukon A ja B välinen ero on joukko kaikkia niitä elementtejä, jotka kuuluvat A:han mutta eivät kuulu B:hen, ja sitä merkitään A-B .
Esimerkki: Olkoon A = {1, 2, 3, 4}
ja B = {3, 4, 5, 6}
sitten A - B = {3, 4} ja B - A = {5, 6}
Symmetrinen ero kahden joukon välillä
Kahden joukon A ja B välinen symmetrinen ero on joukko, joka sisältää kaikki elementit, jotka ovat A:ssa tai B:ssä, mutta eivät molemmissa. Sitä edustaa A D B tai A ? B .
Esimerkki: Olkoon A = {1, 2, 3, 4}
ja B = {3, 4, 5, 6}
sitten A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Katsotaanpa nyt joitain esimerkkejä kahden joukon välisen symmetrisen eron ymmärtämiseksi selkeämmin.
Kysymys 1 - Oletetaan, että sinulla on joukot A = {10, 15, 17, 19, 20} ja B = {15, 16, 18}. Selvitä joukon A ja B välinen ero ja selvitä myös niiden välinen symmetrinen ero.
Ratkaisu - Annettu,
xvideoservicethief ubuntu 14.04 lataus
A = {10, 15, 17, 19, 20}
ja B = {15, 16, 18}
Ero molempien sarjojen välillä on -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symmetrinen ero molempien sarjojen välillä on -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Kysymys 2 - Oletetaan, että sinulla on joukot A = {2, 4, 6, 8} ja B = {2, 5, 7, 8}. Selvitä symmetrinen ero B Δ A. Piirrä myös Venn-diagrammi edustamaan symmetristä eroa molempien annettujen joukkojen välillä.
Ratkaisu - Annettu, A = {2, 4, 6, 8} ja B = {2, 5, 7, 8}
Tiedämme, että B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Yritetään ratkaista kysymys askel askeleelta. Joten ensimmäinen askel on löytää joukon A ja joukon B liitto.
Siksi (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Sen jälkeen meidän on laskettava molempien joukkojen leikkauspiste.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Nyt meidän on löydettävä ero joukkojen A ja B liiton ja leikkauspisteen välillä, kuten kaavassa todetaan,
Joten (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Siksi B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Joka on yhtä suuri kuin A Δ B, kuten edellä todettiin, 'Symmetrinen ero on kommutatiivinen'. Nyt näytämme symmetrisen eron molempien joukkojen välillä Venn-kaavion avulla.
Venn-kaaviossa piirretään ensin kaksi ympyrää, jotka edustavat joukkoja A ja B. Kuten yllä laskettiin, molempien joukkojen leikkauspiste on {2, 8}, joten listasimme nämä elementit leikkausalueelle. Sitten listaamme loput elementit vastaaviin joukkoympyröihinsä, eli {4, 6} joukossa A ja {5, 7} joukossa B. Kun elementit on järjestetty, Venn-kaavio on -
Kun katsomme yllä olevaa Venn-kaaviota, on olemassa universaalijoukko U. Sekä joukot A että B ovat universaalin joukon U osajoukko. Elementit {2, 8} ovat leikkaavia elementtejä, joten ne on esitetty leikkausalueella. Vaaleanoranssin värinen alue on joukkojen liitto, paitsi leikkausalue. Tämä alue on symmetrinen ero joukon A ja B välillä, ja se esitetään muodossa -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Kysymys 3 - Oletetaan, että sinulla on joukot A = {5, 6, 8, 9, 10} ja B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Osoita, että symmetrinen ero on kommutatiivinen käyttämällä annettuja joukkoja.
Ratkaisu - Annettu, A = {5, 6, 8, 9, 10} ja B = {2, 7, 8, 9, 10}
Todistaa: A Δ B = B Δ A
Ota LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Joten A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Ota nyt RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Joten B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Siksi A Δ B = B Δ A
Siten symmetrinen ero on kommutoiva.