Puolikulmakaavoja käytetään erilaisten trigonometristen kulmien arvojen löytämiseen, kuten 15°, 75° ja muille, ja niitä käytetään myös erilaisten trigonometristen ongelmien ratkaisemiseen.

Useat trigonometriset suhteet ja identiteetit auttavat ratkaisemaan trigonometriaongelmia. Trigonometristen kulmien 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ja 180° arvot sin, cos, tan, cosec, sec ja cot määritetään käyttämällä trigonometriataulukkoa. Puolikulmakaavoja käytetään laajalti matematiikassa, opimme niistä yksityiskohtaisesti tässä artikkelissa.

Sisällysluettelo

• Puolikulmakaavat
• Puolikulman identiteetit
• Puolikulmakaavojen johtaminen kaksoiskulmakaavojen avulla
• Puolikulmakaava Cos-johdannaista varten
• Puolikulmakaava synnin johdosta
• Puolikulmakaava rusketuksen johtamiseen
• Ratkaistiin esimerkkejä puolikulmakaavoista

Puolikulmakaavat

Kulmien arvojen löytämiseen tunnettujen 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ja 180° arvojen lisäksi. Puolikulmat on johdettu kaksoiskulmakaavoista, ja ne on lueteltu alla sinille, cosille ja tan:lle:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/2) = (1 – cos x)/ sin x

Trigonometriset identiteetit kaksoiskulmakaavat ovat hyödyllisiä puolikulmakaavojen johtamiseen.

Puolikulmakaavat

Puolikulman identiteetit

Puolikulma-identiteetit joillekin suosituille trigonometriset funktiot ovat,

• Synnin puolikulmakaava,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Cos:n puolikulmakaava,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Puolikulman kaava tan,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

java oops käsitteitä

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Puolikulmakaavojen johtaminen kaksoiskulmakaavojen avulla

Puolikulmakaavat johdetaan käyttämällä kaksoiskulmakaavoja. Ennen puolikulmakaavojen oppimista meidän on opittava Double-angle in Trigonometria , yleisimmin käytetyt kaksoiskulmakaavat trigonometriassa ovat:

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos²x – synti²x
  = 1-2 ilman²x
  = 2 hintaa²x-1
• rusketus 2x = 2 rusketus x / (1 – rusketus²x)

Korvaamalla x x/2:lla molemmilla puolilla yllä olevissa kaavoissa saamme

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – ilman²(x/2)
  = 1-2 ilman²(x/2)
  = 2 hintaa²(x/2) – 1
• rusketus A = 2 tan (x/2) / [1 – rusketus²(x/2)]

Puolikulmakaava Cos-johdannaista varten

Käytämme cos2x = 2cos²x – 1 puolikulmakaavan löytämiseksi Cos

Laita x = 2y yllä olevaan kaavaan

cos (2)(y/2) = 2cos²(y/2) – 1

cos y = 2cos²(y/2) – 1

1 + cos y = 2cos²(ja/2)

2cos²(y/2) = 1 + mukava

cos²(y/2) = (1+ mukava)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ kodikas)/2}

Puolikulmakaava synnin johdosta

Käytämme cos 2x = 1 – 2sin²x synnin puolikulmakaavan löytämiseksi

Laita x = 2y yllä olevaan kaavaan

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(ja/2)

cos y = 1 – 2sin²(ja/2)

2 synti²(y/2) = 1 – mukava

ilman²(y/2) = (1 – mukava)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – mukava)/2}

Puolikulmakaava rusketuksen johtamiseen

Tiedämme, että tan x = sin x / cos x siten, että

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Puolikulman arvojen asettaminen sinille ja cos:lle. Saamme,

rusketus(x/2) = ± [(√(1 – kodikas)/2 ) / (√(1+ kodikas)/2 )]

rusketus(x/2) = ± [√(1 – mukava)/(1+ kodikas)]

Nimittäjän rationalisointi

tan(x/2) = ± (√(1 – mukava)(1 – mukava)/(1+ mukava)(1 – mukava))

rusketus(x/2) = ± (√(1 – mukava)²/(1 – cos²ja))

tan(x/2) = ± [√{(1 – kodikas)²/( ilman²ja)}]

tan(x/2) = (1 – mukava)/(ämpäri)

Myös Tarkista

• Trigonometrian tosielämän sovellukset
• Ilman Cos-kaavoja

Ratkaistiin esimerkkejä puolikulmakaavoista

Esimerkki 1: Määritä sin 15°:n arvo

Ratkaisu:

Tiedämme, että puolikkaan sinikulman kaava saadaan:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Sinin 15° arvo voidaan löytää korvaamalla x 30°:lla yllä olevassa kaavassa

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/2)^1/2

sin 15° = ± (0,134/2)^1/2

sin 15° = ± (0,067)^1/2

sin 15° = ± 0,2588

Esimerkki 2: Määritä sin 22.5 arvo °

Ratkaisu:

Tiedämme, että puolikkaan sinikulman kaava saadaan:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Sinin 15° arvo voidaan löytää korvaamalla x 45° yllä olevassa kaavassa

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± ((1 – 0,707)/2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,293/2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,146)^1/2

sin 22,5° = ± 0,382

Esimerkki 3: Määritä tan 15°:n arvo

Ratkaisu:

Tiedämme, että puolikkaan sinikulman kaava saadaan:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Tan 15°:n arvo voidaan löytää korvaamalla x 30°:lla yllä olevassa kaavassa

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

tan 15° = ± (1 – 0,866)/ sin 30

tan 15° = ± (0,134)/0,5

tan 15° = ± 0,268

Esimerkki 4: Määritä tan 22,5°:n arvo

Ratkaisu:

Tiedämme, että puolikkaan sinikulman kaava saadaan:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Tan 22,5°:n arvo voidaan löytää korvaamalla x 45°:lla yllä olevassa kaavassa

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (0,293)/0,707

tan 22,5° = ± 0,414

Esimerkki 5: Määritä cos 15°:n arvo

Ratkaisu:

Tiedämme, että puolikkaan sinikulman kaava saadaan:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Sinin 15° arvo voidaan löytää korvaamalla x 30° yllä olevassa kaavassa

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Esimerkki 6: Määritä cos:n arvo 22,5°

Ratkaisu:

java-merkkijono muodossa

Tiedämme, että puolikkaan sinikulman kaava saadaan:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Sinin 15° arvo voidaan löytää korvaamalla x 45° yllä olevassa kaavassa

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/2)^1/2

cos 22,5° = ± ( 0,853 )^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Usein kysytyt kysymykset puolikulmakaavasta

Mitä puolikulmakaavoja käytetään?

Puolikulmakaavoja käytetään puolten standardikulmien trigonometristen suhteiden löytämiseen, kuten 15°, 22,5° ja muut. Niitä käytetään myös monimutkaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen ja niitä tarvitaan integraalien ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.

Mikä on Half Angle Formula for Sin?

Synnin puolikulmakaava on

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Myös minkä tahansa kolmion sivuilla a, b ja c ja puolikehä on s, silloin

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Mikä on kosinin puolikulmakaava?

Cos:n puolikulmakaava on

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Myös minkä tahansa kolmion sivuilla a, b ja c ja puolikehä on s, silloin

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Mikä on kaava cos i ?

Jokaiselle suorakulmaiselle kolmiolle kulman θ kaava, jota käytetään laskemaan kulman (θ) kosini on

Cos(θ) = viereinen / hypotenuusa