Kun sinulla on toisen asteen kaava ja toisen asteen yhtälöiden perusteet kylmässä, on aika siirtyä paraabelisuhteesi seuraavalle tasolle: oppia niistä kärkimuoto .

Lue lisää saadaksesi lisätietoja paraabelipistemuodosta ja kuinka muuntaa toisen asteen yhtälö vakiomuodosta huippumuotoon.

ominaisuuskuvan luotto: SBA73 /Flickr

Miksi Vertex Form on hyödyllinen? Yleiskatsaus

The kärkimuoto yhtälön yhtälö on vaihtoehtoinen tapa kirjoittaa paraabelin yhtälö.

Normaalisti näet toisen asteen yhtälön, joka on kirjoitettu muodossa $ax^2+bx+c$, joka graafisesti piirrettynä on paraabeli. Tästä lomakkeesta on tarpeeksi helppoa löytää yhtälön juuret (missä paraabeli osuu $x$-akseliin) asettamalla yhtälö nollaksi (tai käyttämällä toisen asteen kaavaa).

Jos sinun on kuitenkin löydettävä paraabelin kärki, vakioneliömuoto on paljon vähemmän hyödyllinen. Sen sijaan sinun kannattaa muuntaa toisen asteen yhtälösi kärkimuotoon.

Mikä on Vertex-muoto?

Vaikka normaali neliömuoto on $ax^2+bx+c=y$, toisen asteen yhtälön kärkimuoto on $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Molemmissa muodoissa $y$ on $y$-koordinaatti, $x$ on $x$-koordinaatti ja $a$ on vakio, joka kertoo, onko paraabeli ylöspäin ($+a$) vai alaspäin. ($-a$). (Ajattelen sitä ikään kuin paraabeli olisi kulho omenasosetta; jos siinä on $+a$, voin lisätä omenasosetta kulhoon; jos on $-a$, voin ravistaa omenasosetta kulhosta.)

Ero paraabelin vakiomuodon ja kärkimuodon välillä on se, että yhtälön kärkimuoto antaa sinulle myös paraabelin kärjen: $(h,k)$.

Katso esimerkiksi tätä hienoa paraabelia, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Kuvaajan perusteella paraabelin kärkipiste näyttää olevan jotain (-1.5,-2), mutta on vaikea sanoa tarkalleen missä kärki on pelkästä graafista. Onneksi yhtälön $y=3(x+4/3)^2-2$ perusteella tiedämme, että tämän paraabelin kärkipiste on $(-4/3,-2)$.

Miksi kärkipiste on $(-4/3,-2)$ eikä $(4/3,-2)$ (muu kuin kaavio, joka tekee selväksi sekä $x$- että $y$-koordinaatit kärkipisteet ovat negatiivisia)?

Muistaa: kärkimuodon yhtälössä $h$ vähennetään ja $k$ lisätään . Jos sinulla on negatiivinen $h$ tai negatiivinen $k$, sinun on varmistettava, että vähennät negatiivisen $h$ ja lisäät negatiivisen $k$.

Tässä tapauksessa tämä tarkoittaa:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

ja siten kärkipiste on $(-4/3,-2)$.

Sinun tulee aina tarkistaa positiiviset ja negatiiviset merkit, kun kirjoitat paraabelia kärkimuodossa , varsinkin jos kärjessä ei ole positiivisia $x$ ja $y$ arvoja (tai sinulle kvadranttipäät, jos se ei ole kvadrantti I ). Tämä on samanlainen kuin tarkistus, jonka tekisit, jos ratkaisit toisen asteen kaavan ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) ja tarvitsisi varmistaaksesi, että pysyt positiivisena ja negatiivit suoraan kohteille $a$s, $b$s ja $c$s.

Alla on taulukko, jossa on lisäesimerkkejä muutamista muista paraabelipisteiden muotoyhtälöistä sekä niiden kärjet. Huomaa erityisesti ero paraabelipisteen $(x-h)^2$-osassa, kun kärjen $x$-koordinaatti on negatiivinen.

Kuinka muuntaa vakioneliömuodosta Vertex-muodoksi

Useimmiten, kun sinua pyydetään muuttamaan toisen asteen yhtälöt eri muotojen välillä, siirryt vakiomuodosta ($ax^2+bx+c$) huippumuotoon ($a(x-h)^2+k$ ).

Prosessi, jolla yhtälö muunnetaan tavallisesta neliöstä kärkimuodoksi, sisältää joukon vaiheita, joita kutsutaan neliön täydentämiseksi. (Jos haluat lisätietoja neliön viimeistelystä, muista lukea tämä artikkeli.)

Käydään läpi esimerkki yhtälön muuntamisesta vakiomuodosta huippumuotoon. Aloitamme yhtälöllä $y=7x^2+42x-3/14$.

Ensimmäinen asia, jonka haluat tehdä, on siirtää vakio tai termi ilman $x$ tai $x^2$ sen vieressä. Tässä tapauksessa vakiomme on -3/14 $. (Tiedämme, että se on negatiivinen $3/14$, koska tavallinen toisen asteen yhtälö on $ax^2+bx+c$, ei $ax^2+bx-c$.)

Ensin otamme tuon $-3/14$ ja siirrämme sen yhtälön vasemmalle puolelle:

$y+3/14=7x^2+42x$

Seuraava vaihe on laskea pois 7 (yhtälön $a$-arvo) oikealta puolelta seuraavasti:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Loistava! Tämä yhtälö näyttää paljon enemmän kärkimuodolta $y=a(x-h)^2+k$.

Tässä vaiheessa saatat ajatella: 'Minun tarvitsee nyt vain siirtää $3/14$ takaisin yhtälön oikealle puolelle, eikö niin?' Valitettavasti ei niin nopeasti.

Jos katsot osaa yhtälöstä suluissa, huomaat ongelman: se ei ole muodossa $(x-h)^2$. $x$s on liikaa! Emme siis ole vielä täysin valmiita.

Nyt meidän on tehtävä vaikein osa – neliön viimeistely.

Tarkastellaanpa tarkemmin yhtälön osaa $x^2+6x$. Jotta $(x^2+6x)$ voidaan laskea johonkin, joka muistuttaa $(x-h)^2$, meidän on lisättävä vakio sulkujen sisäpuolelle – ja meidän on muistettava lisätä tuo vakio myös yhtälön toiselle puolelle (koska yhtälön on pysyttävä tasapainossa).

Asettaaksesi tämän (ja varmistamaan, että emme unohda lisätä vakiota yhtälön toiselle puolelle), luomme tyhjän tilan, jossa vakio menee yhtälön molemmille puolille:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Huomaa, että yhtälön vasemmalla puolella varmistimme, että sisällytimme $a$-arvomme 7 sen tilan eteen, johon vakiomme menee; tämä johtuu siitä, että emme vain lisää vakiota yhtälön oikealle puolelle, vaan kerromme vakion suluissa olevalla millä tahansa. (Jos $a$-arvosi on 1, sinun ei tarvitse huolehtia tästä.)

Seuraava vaihe on neliön viimeistely. Tässä tapauksessa täyttämäsi neliö on suluissa oleva yhtälö – lisäämällä vakion muutat sen yhtälöksi, joka voidaan kirjoittaa neliöiksi.

Laskeaksesi tämän uuden vakion, ota arvo $x$:n (tässä tapauksessa 6) vieressä, jaa se kahdella ja neliöi se.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Vakio on 9.

Syy, miksi puolitamme 6:n ja neliöimme sen, on se, että tiedämme, että yhtälössä muodossa $(x+p)(x+p)$ (johon yritämme päästä) $px+px= 6x$, joten $p=6/2$; jotta saadaan vakio $p^2$, meidän on siis otettava $6/2$ (meidän $p$) ja neliötettävä se.

Korvaa nyt yhtälömme kummallakin puolella oleva tyhjä tila vakiolla 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Kerro seuraavaksi yhtälö sulkujen sisällä. Koska saimme neliön valmiiksi, voit laskea sen muodossa $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Viimeinen vaihe: siirrä muu kuin $y$-arvo yhtälön vasemmalta puolelta takaisin oikealle:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Onnittelut! Olet onnistuneesti muuntanut yhtälösi tavallisesta neliöstä kärkimuodoksi.

Nyt useimmat ongelmat eivät vain pyydä sinua muuttamaan yhtälöt vakiomuodosta huippumuotoon; he haluavat sinun antavan itse asiassa paraabelin kärjen koordinaatit.

Jotta et joutuisi huijatuksi etumerkkimuutoksilla, kirjoitetaan yleinen kärkimuotoyhtälö suoraan juuri laskemamme kärkimuotoyhtälön yläpuolelle:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Ja sitten voimme helposti löytää $h$ ja $k$:

$-h = 3 $

$h = -3 $

$+k=-{885/14}$

Tämän paraabelin kärki on koordinaateissa $(-3,-{885/14})$.

Vau, siinä oli paljon numeroiden sekoittamista! Onneksi yhtälöiden muuntaminen toiseen suuntaan (vertexistä vakiomuotoon) on paljon yksinkertaisempaa.

Kuinka muuntaa Vertex-lomakkeesta vakiolomakkeeksi

Yhtälöiden muuntaminen niiden kärkimuodosta tavalliseen neliömuotoon on paljon yksinkertaisempi prosessi: sinun tarvitsee vain kertoa kärkimuoto.

Otetaan esimerkkiyhtälömme aikaisemmasta, $y=3(x+4/3)^2-2$. Muuttaaksemme tämän vakiomuotoon, laajennamme vain yhtälön oikeaa puolta:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Olet onnistuneesti muuntanut $y=3(x+4/3)^2-2$ muotoon $ax^2+bx+c$.

Parabola Vertex Form Practice: Esimerkkikysymykset

Tämän kärkimuodon tutkimisen päätteeksi meillä on neljä esimerkkiongelmaa ja selitystä. Katso, voitko ratkaista ongelmat itse, ennen kuin luet selitykset läpi!

#1: Mikä on toisen asteen yhtälön $x^2+ 2.6x+1.2$ kärkimuoto?

#2: Muunna yhtälö $7y=91x^2-112$ kärkimuotoon. Mikä on huippupiste?

#3: Kun otetaan huomioon yhtälö $y=2(x-3/2)^2-9$, mitkä ovat $x$-koordinaatit kohdassa, jossa tämä yhtälö leikkaa $x$-akselin?

#4: Etsi paraabelin kärkipiste $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex -muotokäytäntö: Ratkaisut

#1: Mikä on toisen asteen yhtälön ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ kärkimuoto?

Aloita erottamalla ei-$x$-muuttuja yhtälön toiselle puolelle:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Koska meidän $a$ (kuten $ax^2+bx+c$) alkuperäisessä yhtälössä on yhtä suuri kuin 1, meidän ei tarvitse laskea sitä pois oikealta puolelta (vaikka jos haluat, voit kirjoittaa $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Jaa seuraavaksi $x$-kerroin (2.6) kahdella ja neliötä se ja lisää sitten saatu luku yhtälön molemmille puolille:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Kerroin yhtälön oikea puoli sulkeissa:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Yhdistä lopuksi yhtälön vasemmalla puolella olevat vakiot ja siirrä ne sitten oikealle puolelle.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Vastauksemme on $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Muunna yhtälö $7i y=91i x^2-112$ kärkimuotoon. Mikä on huippupiste?

Kun muunnat yhtälön kärkimuotoon, haluat $y$:n kertoimen olevan 1, joten ensimmäinen asia, jonka aiomme tehdä, on jakaa tämän yhtälön molemmat puolet seitsemällä:

$7v = 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Siirrä seuraavaksi vakio yhtälön vasemmalle puolelle:

$y+16=13x^2$

Laske $x^2$-luvun kerroin ($a$) yhtälön oikealta puolelta

$y+16=13(x^2)$

Nyt normaalisti sinun on täydennettävä suluissa olevan yhtälön oikealla puolella oleva neliö. $x^2$ on kuitenkin jo neliö, joten sinun ei tarvitse tehdä muuta kuin siirtää vakiota yhtälön vasemmalta puolelta takaisin oikealle:

$y=13(x^2)-16$.

Nyt löytääksesi kärkipisteen:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, joten $h=0$

$+k=-16$, eli $k=-16$

Paraabelin kärkipiste on $(0, -16)$.

#3: Kun otetaan huomioon yhtälö $i y=2(i x-3/2)^2-9$, mikä on (ovat) $i x$-koordinaatit, joissa tämä yhtälö leikkaa $i x$-akseli?

Koska kysymys pyytää sinua löytämään yhtälön $x$-leikkauspisteet, ensimmäinen vaihe on asettaa $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Nyt on pari tapaa päästä tästä eteenpäin. Huipputapa on käyttää hyväksemme sitä tosiasiaa, että kärkimuotoyhtälöön on jo kirjoitettu neliö.

Ensin siirrämme vakion yhtälön vasemmalle puolelle:

$0 = 2(x-3/2)^2-9 $

$9 = 2(x-3/2)^2$

Seuraavaksi jaamme yhtälön molemmat puolet kahdella:

$9/2=(x-3/2)^2$

Nyt ovela osa. Ota neliöjuuri yhtälön molemmista puolista:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±