4 × 4 -matriisin determinantti: Matriisin determinantti on lineaarisen algebran peruskäsite, joka on välttämätön yksittäisen skalaariarvon johtamiseksi matriisista. 4×4 on neliömatriisi, jossa on 4 riviä ja 4 saraketta, jonka determinantti voidaan löytää kaavalla, jota käsittelemme.

Tämä artikkeli tutkii 4 × 4 -matriisin määritelmä ja opas 4 × 4 -matriisin determinantin laskentaprosessin vaiheittaisessa prosessissa. Lisäksi se tutkii tämän matemaattisen operaation käytännön sovelluksia.

Sisällysluettelo

• Mikä on matriisin determinantti?
• 4 × 4 -matriisin determinantti
• 4×4 Matrixin ominaisuudet
• 4 × 4 -matriisikaavan determinantti
• Kuinka löydät 4 × 4 -matriisin determinantin?
• 4 × 4 -matriisiesimerkkien determinantti
• 4 × 4 Matrix -harjoituskysymysten määrääjä

Mikä on matriisin determinantti?

The matriisin determinantti on skalaariarvo, joka voidaan laskea a:n alkioista neliömatriisi . Se antaa tärkeitä tietoja matriisista, kuten onko se käännettävissä ja matriisin edustaman lineaarimuunnosten skaalaustekijä.

Erilaisia ​​menetelmiä, mm kofaktori laajennusta tai rivivähennystä voidaan käyttää matriisin determinantin löytämiseen matriisin koosta ja rakenteesta riippuen. Kun determinantti on laskettu, se merkitään det-symbolilla tai matriisia ympäröivillä pystypalkeilla.

4 × 4 -matriisin determinantti

4 × 4 -matriisi on suorakaiteen muotoinen numerosarja, joka on järjestetty neljään riviin ja neljään sarakkeeseen. Jokainen matriisin elementti tunnistetaan sen rivin ja sarakkeen sijainnista. 4 × 4 -matriisin yleinen muoto näyttää tältä:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Missä_ijedustaa i:ssä olevaa elementtiä^thrivi ja j^thmatriisin sarake.

4×4-matriiseja kohdataan yleisesti eri aloilla, kuten tietokonegrafiikassa, fysiikassa, tekniikassa ja matematiikassa. Niitä käytetään esittämään muunnoksia, ratkaisemaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä ja suorittamaan operaatioita lineaarialgebrassa.

4×4 Matrixin ominaisuudet

Tässä on joitain 4 × 4 -matriisin ominaisuuksia yksinkertaistettuna:

• Neliömatriisi: 4 × 4 -matriisissa on yhtä suuri määrä rivejä ja sarakkeita, mikä tekee siitä neliömatriisin.
• Determinantti: 4 × 4 -matriisin determinantti voidaan laskea käyttämällä menetelmiä, kuten kofaktorin laajennus tai rivin pienentäminen. Se tarjoaa tietoa matriisin käänteisyydestä ja skaalauskertoimesta lineaarisille muunnoksille.
• Käänteinen: 4×4 matriisi on käännettävä jos sen determinantti on nollasta poikkeava. 4×4-matriisin käänteisfunktio mahdollistaa lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen ja matriisin edustamien muunnosten kumoamisen.
• Transponoi: 4×4-matriisin transponointi saadaan vaihtamalla sen rivejä ja sarakkeita. Se voi olla hyödyllinen tietyissä laskelmissa ja muunnoksissa.
• Ominaisarvot ja ominaisvektorit: 4×4-matriiseja voidaan analysoida niiden löytämiseksi ominaisarvot ja ominaisvektorit , jotka edustavat matriisin ominaisuuksia lineaarisissa muunnoksissa.
• Symmetria: Tietystä matriisista riippuen sillä voi olla symmetriaominaisuuksia, kuten symmetrisyys, vino-symmetrisyys tai ei kumpaakaan.
• Matriisitoiminnot: 4 × 4 -matriiseille voidaan suorittaa erilaisia ​​toimintoja, kuten yhteen-, vähennys-, kertolasku- ja skalaarikertolaskuja noudattaen tiettyjä sääntöjä ja ominaisuuksia.

Lue tarkemmin: Determinanttien ominaisuudet

4 × 4 -matriisikaavan determinantti

Minkä tahansa 4 × 4 -matriisin determinantti, ts.egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

it(A) = a _yksitoista · se (A _yksitoista ) – a ₁₂ · se (A ₁₂ ) + a ₁₃ · se (A ₁₃ ) – a ₁₄ · se (A ₁₄ )

Missä_ijtarkoittaa alimatriisia poistamalla i^thrivi ja j^thsarakkeessa.

Kuinka löydät 4 × 4 -matriisin determinantin?

4×4-matriisin determinantin löytämiseksi voit käyttää erilaisia ​​menetelmiä, kuten laajentamista sivuilla, rivien pienennystä tai tiettyjen ominaisuuksien soveltamista.

Yksi yleinen tapa on käyttää alaikäisten laajennusta, jossa laajennetaan riviä tai saraketta pitkin kertomalla jokainen elementti sen kofaktorilla ja summaamalla tulokset. Tämä prosessi jatkuu rekursiivisesti, kunnes saavutat 2×2-alimatriisin, jolle voit laskea determinantin suoraan. Ymmärtääksesi kuinka löytää 4 × 4 -matriisin determinantti, harkitse esimerkkiä.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Vaihe 1: Laajenna ensimmäistä riviä:

it(A) = 2 · it(A _yksitoista ) – 1 · it(A ₁₂ ) + 3 · it(A ₁₃ ) – 4 · it(A ₁₄ )

Missä_ijtarkoittaa alimatriisia, joka on saatu poistamalla i. rivi ja j:s sarake.

Vaihe 2: Laske kunkin 3×3-alimatriisin determinantti.

A:lle_yksitoista

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A_yksitoista| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |A_yksitoista| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A_yksitoista| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A_yksitoista| = 10 + 26 + 4 = 40

A:lle₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

normalisointi tietokannassa

A:lle₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22 = 30

A:lle₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

Vaihe 3: Korvaa 3×3-alimatriisien determinantit laajennuskaavassa:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Vaihe 4: Laske lopullinen determinantti:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

it(A) = 48

Joten annetun 4×4 matriisin determinantti on 48.

Myös Tarkista

• 2×2-matriisin determinantti
• 3×3-matriisin determinantti

4 × 4 -matriisiesimerkkien determinantti

Esimerkki 1: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Ensimmäinen Laajenna ensimmäistä riviä pitkin:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Laske nyt kunkin 3×3-alimatriisin determinantti.

Sille (A _yksitoista ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13-12

= -25

Sille (A ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2) (-7) – (0) (-14) + (3) (-7)

= -14 - 0 - 21

= -35

Sille (A ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ) )-(2) (1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2) (6) – (1) (-14) + (3) (-2)

= 12 + 14 - 6

= 20

Sille (A ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)(0)-(2))

= (2) (-4) – (1) (5) + (0) (-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Korvaa nyt 3×3-alimatriisien determinantit laajennuskaavassa:

det(A) = 2 cdot (-25) - 1 cdot (-35) + 0 - 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Joten matriisin (A) determinantti on 24.

Esimerkki 2: Laske matriisin determinanttiA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Löytääksemme matriisin ( A ) determinantin, käytämme ensimmäisellä rivillä Expansion by minors -menetelmää:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Lasketaan nyt 3×3-alimatriisien determinantit:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 - 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Korvaa nyt nämä determinantit takaisin laajennuskaavaan:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Joten matriisin ( A ) determinantti on det(A) = -120.

Esimerkki 3: Etsi matriisin B = determinanttiegin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Löytääksemme matriisin ( B ) determinantin, käytämme ensimmäisellä rivillä Expansion by minors -menetelmää:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Lasketaan nyt 3×3-alimatriisien determinantit:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 - 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 - 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 - 15) + 2 ⋅ (0 - 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 - 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Korvaa nyt nämä determinantit takaisin laajennuskaavaan:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ mikä tahansa

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Joten matriisin ( B ) determinantti on det(B) = -19

4 × 4 Matrix -harjoituskysymysten määrääjä

Q1: Laske seuraavan 4×4 matriisin determinantti:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Q2: Etsi matriisin determinantti:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Q3: Laske seuraavan 4×4 matriisin determinantti:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Q4: Määritä matriisin determinantti:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

Q5: Etsi matriisin determinantti: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Usein kysytyt kysymykset 4×4-matriisin determinantista

Kuinka löydät 4 × 4 -matriisin determinantin?

4 × 4 -matriisin determinantin löytämiseksi voit käyttää erilaisia ​​menetelmiä, kuten kofaktorilaajennus- tai rivivähennystekniikoita.

Mikä on 4×4-identiteettimatriisin determinantti?

4×4-identiteettimatriisin determinantti on 1, koska kyseessä on erikoistapaus, jossa kaikki diagonaaliset elementit ovat 1 ja loput 0.

Kuinka löytää 4 × 4 -matriisin determinantti kofaktorilaajennuksella?

4 × 4 -matriisin determinantin määrittäminen kofaktorilaajennuksella sisältää sen jakamisen pienemmiksi 3 × 3 -matriiseiksi, kofaktorikaavan soveltamisen ja tulojen summaamisen.

Mikä on determinantin kaava?

Determinantin kaava sisältää kunkin rivin tai sarakkeen elementtien ja niiden kofaktorien tulot summaamalla niiden etumerkit.

Voiko determinantti olla negatiivinen?

Kyllä, determinantit voivat olla negatiivisia, positiivisia tai nolla, riippuen tietystä matriisista ja sen ominaisuuksista.

Voiko 4×4-matriisilla olla käänteinen?

4×4-matriisilla voi olla käänteisarvo, jos sen determinantti on nollasta poikkeava; Muuten se on yksikkö ja siitä puuttuu käänteinen.

Miten osoitat, että 4 × 4 -matriisi on käännettävä?

Jos haluat osoittaa, että 4 × 4 -matriisi on käännettävä, varmista, että sen determinantti on muu kuin nolla, mikä osoittaa käänteisen matriisin olemassaolon, ja käytä lisäkriteerejä, kuten rivin pienennystä, varmistaaksesi käänteisyyden.