Trigonometristen funktioiden erottelu on trigonometristen funktioiden johdannainen, kuten sin, cos, tan, cot, sec ja cosec. Eriyttäminen on tärkeä osa laskemista. Se määritellään yhden suuren muutosnopeudeksi suhteessa johonkin toiseen suureen. Trigonometristen funktioiden erottelua käytetään tosielämässä eri aloilla, kuten tietokoneissa, elektroniikassa ja matematiikassa.

Tässä artikkelissa opimme trigonometristen funktioiden eriyttämisestä kaavoineen, niihin liittyviin todisteisiin ja sovelluksiin. Lisäksi ratkaisemme joitain esimerkkejä ja saamme vastauksia joihinkin usein kysyttyihin kysymyksiin trigonometristen funktioiden erottamisesta. Aloitetaan oppiminen aiheesta Trigonometristen funktioiden erottelu.

Mitä on eriyttäminen?

Funktion differentiaatio on funktion muutosnopeus suhteessa mihin tahansa muuttujaan. The johdannainen f(x):stä merkitään f'(x) tai (d/dx)[f(x)].

Menettely erottelemiseksi trigonometriset funktiot kutsutaan trigonometristen funktioiden differentiaatioksi. Toisin sanoen trigonometristen funktioiden muutosnopeuden löytämistä kulmien suhteen kutsutaan trigonometriseksi funktion differentiaatioksi.

Kuusi trigonometristä perusfunktiota ovat sin, cos, tan, cosec, sec ja cot. Löydämme kaikkien trigonometristen funktioiden derivaatat kaavoineen ja todisteineen.

Trigonometristen funktioiden erottelusääntö

Kuuden trigonometrisen perusfunktion erottelu on seuraava:

Voit tarkistaa näiden kuuden trigonometrisen funktion derivaatan todisteet alla olevista linkeistä:

Todiste trigonometristen funktioiden kaavan differentiaatiosta

Kuten edellä on käsitelty kaikkien trigonometristen funktioiden kaavoissa, nyt todistetaan yllä olevat trigonometristen funktioiden differentiaatiokaavat käyttäen ensimmäistä derivaatan, osamääräsääntöä ja ketjusääntöä rajojen avulla.

Synti(x)

Todistaaksemme sin x:n derivaatan käytämme ensimmäistä differentiaatioperiaatetta ja joitain perustrigonometrisiä identiteetti- ja rajakaavoja. Todistuksessa käytetyt trigonometriset identiteetit ja rajakaavat on annettu alla:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Aloitetaan trigonometrisen funktion sin x differentioinnin todistaminen

Ensimmäisen erotteluperiaatteen mukaan

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = raja_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

arp - komento

⇒ (d/dx) sin x = raja_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = raja_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Käyttämällä 2 ja 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Siksi sin x:n differentiaatio on cos x.

Cos(x) -arvon erotus

Todistaaksemme cos x:n derivaatan käytämme ensimmäistä differentiaatioperiaatetta ja joitain perustrigonometrisiä identiteetti- ja rajakaavoja. Todistuksessa käytetyt trigonometriset identiteetit ja rajakaavat on annettu alla:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Aloitetaan trigonometrisen funktion cos x differentioinnin todistaminen

Ensimmäisen erotteluperiaatteen mukaan

(d/dx) cos x = raja_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = raja_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = raja_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = raja_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(ilman h/h) ilman x:ää]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Käyttämällä 2 ja 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Siksi cos x:n differentiaatio on -sin x.

tan(x) erottelu

Todistaaksemme tan x:n derivaatan käytämme osamääräsääntöä ja joitain perustrigonometrisiä identiteetti- ja rajakaavoja. Todistuksessa käytetyt trigonometriset identiteetit ja rajakaavat on annettu alla:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + synti²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Aloitetaan trigonometrisen funktion tan x differentioinnin todistaminen

Koska (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Osamääräsääntöä käyttämällä

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [4 ja 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + synti²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [2]

Siksi tan x:n differentiaatio on sek ² x.

Cosec(x) erotus

Todistaaksemme cosec x:n derivaatan käytämme ketjusääntöä ja joitain perustrigonometrisiä identiteetti- ja rajakaavoja. Todistuksessa käytetyt trigonometriset identiteetit ja rajakaavat on annettu alla:

1. pinnasänky x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Aloitetaan trigonometrisen funktion cosec x differentioinnin todistaminen

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [by 2]

Ketjusäännön käyttö

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

kuinka muuntaa merkkijono java kokonaisluvuksi

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x pinnasänky x [1 ja 2]

Siksi cosec x:n differentiaatio on – cosec x cot x.

sec(x) erottelu

Todistaaksemme sek x:n derivaatan käytämme osamääräsääntöä ja joitain perustietoja trigonometriset identiteetit ja rajakaava . Todistuksessa käytetyt trigonometriset identiteetit ja rajakaavat on annettu alla:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Aloitetaan trigonometrisen funktion sec x erottelun todistaminen

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [by 2]

Ketjusäännön käyttö

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (-ilman x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [1 ja 2]

Siksi sec x:n differentiaatio on sec x tan x.

Pinnasänky(x)

Todistaaksemme cot x:n derivaatan käytämme osamääräsääntöä ja joitain perustrigonometrisiä identiteetti- ja rajakaavoja. Todistuksessa käytetyt trigonometriset identiteetit ja rajakaavat on annettu alla:

1. pinnasänky x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + synti²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Aloitetaan trigonometrisen funktion cot x erottelun todistaminen

Koska (1)

pinnasänky x = cos x / sin x

(d/dx) pinnasänky x = (d/dx) [cosx / sin x]

Osamääräsääntöä käyttämällä

(d/dx) pinnasänky x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) pinnasänky x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [4 ja 5]

⇒ (d/dx) pinnasänky x = [ -sin²x – cos²x] / synti²x

⇒ (d/dx) pinnasänky x = -[ sin²x + cos²x] / synti²x

⇒ (d/dx) pinnasänky x = -1 / sin²x [3]

⇒ (d/dx) pinnasänky x = -kosek ² x [2]

Siksi cot x:n differentiaatio on -cosec ² x.

Jotkut muut laukaisufunktion johdannaiset

Trigonometristen funktioiden erottaminen onnistuu helposti ketjusäännöllä. Monimutkaiset trigonometriset funktiot ja yhdistelmätrigonometriset funktiot voidaan ratkaista soveltamalla ketjusääntö erilaistumisesta. Seuraavissa otsikoissa tutkimme tarkemmin ketjusäännön ja yhdistelmätrigifunktioiden eriyttämistä.

• Erottaminen ketjusäännön avulla
• Komposiittitrig-funktion erottelu

Keskustellaan näistä aiheista yksityiskohtaisesti.

Ketjusääntö ja trigonometrinen funktio

Ketjusääntö sanoo, että jos p(q(x)) on funktio, niin tämän funktion derivaatta saadaan p(q(x)):n derivaatan ja q(x) derivaatan tulolla. Ketjusääntöä käytetään erottamiseen yhdistelmäfunktiot . Ketjusääntöä käytetään enimmäkseen erottamaan yhdistetyt trig-funktiot helposti.

Esimerkki: Etsi derivaatta f(x) = tan 4x

Ratkaisu:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [rusketus 4x]

Soveltamalla ketjusääntöä

f'(x) = (d/dx) [rusketus 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Komposiittitrig-funktion erottelu

Yhdistelmätrigifunktioiden erilaistumisen arvioimiseksi käytämme ketjun differentiaatiosääntöä. Yhdistelmätrigifunktiot ovat funktioita, joissa trigonometrisen funktion kulma on itse funktio. Yhdistelmätrigonometristen funktioiden differentiaatio on helposti arvioitavissa käyttämällä ketjusääntöä ja trigonometristen funktioiden differentiaatiokaavoja.

Esimerkki: Etsi derivaatta f(x) = cos(x ² +4)

Ratkaisu:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Soveltamalla ketjusääntöä

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Mitä ovat käänteiset trigonometriset funktiot?

The käänteiset trigonometriset funktiot ovat trigonometristen funktioiden käänteisiä funktioita. Käänteisiä trigonometrisiä funktioita on kuusi: sin^-1, cos^-1, niin^-1, cosec^-1, sek^-1, pinnasänky^-1. Käänteisiä trigonometrisiä funktioita kutsutaan myös kaarifunktioiksi.

Käänteisten trigonometristen funktioiden eriyttäminen

Kuuden käänteisen trigonometrisen funktion derivaatat ovat seuraavat:

Esimerkki: Etsi derivaatta f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

javascript-operaattorit

Ratkaisu:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [kust^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 - x²)]

Sovellukset trigonometristen funktioiden eriyttämiseen

Trigonometristen funktioiden eriyttämisessä on monia erilaisia ​​sovelluksia tosielämässä. Seuraavassa on trigonometristen funktioiden differentioinnin sovelluksia.

• Trigonometrisen käyrän tangentin ja normaaliviivan kaltevuus voidaan määrittää käyttämällä trigonometristen funktioiden differentiaatiota.
• Sitä voidaan käyttää myös funktion maksimien ja minimien määrittämiseen.
• Sitä käytetään myös tietokoneiden ja elektroniikan alalla.

Myös Tarkista

• Käänteinen trigin johdannainen
• Antijohdannainen
• Erilaistumiskaavat

Esimerkkejä trigitoimintojen eriyttämiseen liittyvistä ongelmista

Tehtävä 1: Etsi derivaatta f(x) = tan 2x.

Ratkaisu:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Soveltamalla ketjusääntöä

f'(x) = (d/dx) [rusketus 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2 s²2x

Tehtävä 2: Etsi derivaatta y:stä = cos x / (4x ² )

Ratkaisu:

y = cos x / (4x²)

Osamääräsäännön soveltaminen

y' = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Tehtävä 3: Arvioi derivaatta f(x) = cosec x + x tan x

Ratkaisu:

f(x) = cosec x + x tan x

Sovellamalla kaavaa ja tuotesääntöä

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -kosek x pinnasänky x + (d /dx) x (rusketus x) + x (d / dx) (rusketus x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

Tehtävä 4: Etsi funktion f(x) = 6x derivaatta ⁴ cos x

Ratkaisu:

f(x) = 6x⁴cos x

Tuotesääntöä soveltamalla

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-ilman x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴ilman x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Tehtävä 5: Arvioi derivaatta: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Ratkaisu:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Tuotesääntöä soveltamalla

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Käytännön ongelmia trigonometristen funktioiden erottamisessa

Ongelma 1: Etsi y = sin(x) + cos(x) derivaatta.

Ongelma 2: Laske y = 2sin(x) – 3cos(x) derivaatta.

Ongelma 3: Etsi derivaatta y = 2sin(3x).

Ongelma 4: Määritä y = tan(5x) derivaatta.

muuntaa tavutaulukko merkkijonoksi

Ongelma 5: Etsi y = sin(x) cos(x) derivaatta.

Ongelma 6: Laske y = cos derivaatta²(x).

Ongelma 7: Määritä y = tan derivaatta²(x).

Ongelma 8: Määritä y = tan(x) sec(x) derivaatta.

Usein kysyttyä trigonometristen funktioiden eriyttämisestä

Mitä on eriyttäminen?

Differentiointi on matemaattinen operaatio, joka laskee nopeuden, jolla funktio muuttuu suhteessa riippumattomaan muuttujaan.

Mikä on trigonometrinen funktio?

Trigonometriset funktiot ovat matemaattisia funktioita, jotka yhdistävät suorakulmaisen kolmion kulmat sen sivujen suhteisiin.

Mitkä ovat yleiset trigonometriset funktiot?

Yleisiä trigonometrisia toimintoja ovat sini (sin), kosini (cos), tangentti (tan), kosekantti (cosec), sekantti (sec) ja kotangentti (cot).

Määrittele trigonometristen funktioiden erotus.

Trigonometristen funktioiden eriyttämismenetelmää kutsutaan trigonometristen funktioiden differentiaatioksi.

Kuinka erotat sinifunktion eli sin (x)?

Sin (x) derivaatta on cos (x). Matemaattisessa merkinnässä d/dx(sin(x)) = cos(x).

Mitä saamme kosinifunktion differentioinnin, eli cos (x) jälkeen?

Cos (x):n derivaatta on -sin (x). Matemaattisessa merkinnässä d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Kuinka erotat tangenttifunktion eli tan (x)?

Tan(x):n derivaatta on sek²(x), jossa sec(x) on sekanttifunktio. Matemaattisessa merkinnässä d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Mitkä ovat trigonometristen funktioiden erottelukaavat?

Kaava trigonometristen funktioiden erottamiseksi on:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x pinnasänky x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) pinnasänky x = -kosek²x

Anna yksi esimerkki trigonometrisen funktion erottamisesta.

Tarkastellaan funktiota f(x) = 2sin(3x).

Ketjusääntöä käyttämällä

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Mitä menetelmiä käytetään trigonometristen funktioiden erottamiseen?

Eri tavat, joilla trigonometristen funktioiden kaava voidaan johtaa, ovat:

• Käyttämällä johdannaisten ensimmäistä periaatetta
• Käyttämällä Osamäärä sääntö
• Ketjusäännön avulla

Mikä on trigonometristen funktioiden erilaistumisen esto?

Trigonometristen funktioiden erilaistumattomuus tarkoittaa trigonometristen funktioiden integroinnin löytämistä.