3 × 3 matriisin käänteisarvo on matriisi joka kerrottuna alkuperäisellä Matriisilla antaa identiteettimatriisi tuotteena. Matriisin käänteisosa on lineaarisen algebran perusosa. Tällä prosessilla on ratkaiseva rooli lineaaristen yhtälöjärjestelmien ja erilaisten matemaattisten sovellusten ratkaisemisessa. Käänteisen matriisin laskemiseksi on tarpeen laskea adjointmatriisi tarkistaa matriisin käänteisyys tutkimalla sen determinanttia (jonka ei pitäisi olla nolla) ja käyttää kaavaa käänteismatriisin johtamiseksi.

Tämä artikkeli kattaa 3 × 3 -matriisin käänteisen eri käsitteet ja kuinka löytää 3 × 3 -matriisin käänteisarvo laskemalla 3 × 3 -matriisin kofaktorit, adjointit ja determinantit. Myöhemmin tästä artikkelista löydät myös ratkaistuja esimerkkejä ymmärtämisen helpottamiseksi, ja myös harjoituskysymyksiä tarkistamme, mitä olemme oppineet tästä.

Sisällysluettelo

• Mikä on 3 × 3 -matriisin käänteisarvo?
• Kuinka löytää 3 × 3 -matriisin käänteisarvo?
• Elementit, joita käytetään 3 × 3 -matriisin käänteisarvon löytämiseen
• Käänteinen 3 × 3 matriisikaava
• 3 × 3 -matriisin käänteisarvon löytäminen rivioperaatioiden avulla

Mikä on 3 × 3 -matriisin käänteisarvo?

3 × 3 -matriisin käänteisarvo on matriisi, joka kerrottuna alkuperäisellä matriisilla johtaa identiteettimatriisiin. Löytääksesi käänteisen, voit laskea adjointmatriisin, määrittää, onko matriisi käännettävä (ei-singulaarinen) tarkistamalla sen determinantti (jonka ei pitäisi olla nolla), ja soveltaa sitten kaavaa A^-1= (adj A) / (kohta A). Käänteismatriisin avulla voit ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä ja suorittaa erilaisia ​​matemaattisia operaatioita.

Kuinka löytää 3 × 3 -matriisin käänteisarvo?

Noudata alla annettuja ohjeita löytääksesi 3 × 3 -matriisin käänteisarvo:

Vaihe 1: Tarkista ensin, voidaanko matriisi kääntää. Laske tätä varten matriisin determinantti. Jos determinantti ei ole nolla, siirry seuraavaan vaiheeseen.

Vaihe 2: Laske pienempien 2 × 2 matriisien determinantti suuremmassa matriisissa.

Vaihe 3: Luo kofaktorimatriisi.

Vaihe 4: Hanki matriisin Adjugaatti tai Adjoint transponoimalla kofaktorimatriisi.

Vaihe 5: Lopuksi jaa jokainen adjugaattimatriisin elementti alkuperäisen 3 x 3 -matriisin determinantilla.

Aiheeseen liittyvää luettavaa

• Matrixin kofaktori ja alaikäiset
• Matrixin transponointi

Elementit, joita käytetään 3 × 3 -matriisin käänteisarvon löytämiseen

3 × 3 -matriisin käänteisarvon löytämiseen käytetään pääasiassa kahta elementtiä:

• Matrixin liitos
• Matrixin determinantti

3 × 3 -matriisin liitos

The matriisin adjoint A löydetään ottamalla A:n kofaktorimatriisin transponointi. Laskeaksesi matriisin adjointin yksityiskohtaisesti, seuraa annettuja ohjeita.

3 × 3 -matriisissa minkä tahansa elementin kofaktori on määräävä tekijä 2 × 2 -matriisista, joka muodostetaan poistamalla kyseisen elementin sisältävä rivi ja sarake. Kun etsit kofaktoreita, vuorottelet positiivisia ja negatiivisia merkkejä.

Esimerkiksi annettu matriisi A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Minor-matriisi saadaan seuraavasti:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Laske 2 × 2 -matriisien determinantit, jotka on muodostettu kertomalla diagonaalisesti ja vähentämällä tulot vasemmalta oikealle, eli Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Joten kofaktorimatriisi on:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Transponoimalla kofaktorimatriisi saadaan adjointmatriisi.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

3 × 3 -matriisin determinantti

Käyttämällä samaa esimerkkiä kuin olemme käsitelleet edellä, voimme laskea matriisin A determinantin

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Laske matriisin determinantti käyttämällä ensimmäistä riviä,

Det A = 2 (kotekijä 2) + 1 (kotekijä 1) + 3 (kotekijä 3)

Että A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Että A = 2 + 4 - 6

Että A = 0

Voit tarkistaa Temppu laskea 3×3 matriisin determinantti

Käänteinen 3 × 3 matriisikaava

Löytääksesi 3 × 3 -matriisin A käänteisarvon, voit käyttää kaavaa A-1 = (adj A) / (det A), jossa:

• adj A on A:n adjointtimatriisi.
• det A on A:n determinantti.

Jotta A-1 olisi olemassa, det A ei saa olla nolla. Tämä tarkoittaa:

• A^-1olemassa, kun det A ei ole nolla (A on ei-yksikkö).
• A^-1ei ole olemassa, kun det A on nolla (A on yksikkö).

Tässä on vaiheet 3 × 3 -matriisin käänteisarvon löytämiseksi käyttämällä samaa esimerkkiä:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Vaihe 1: Laske adjointmatriisi (adj A).

Löytääksesi adjointmatriisin, korvaa A:n elementit niitä vastaavilla kofaktoreilla.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Vaihe 2: Etsi A:n determinantti (det A).

A:n determinantin laskemiseksi voit käyttää 3 × 3 -matriisin kaavaa. Tässä tapauksessa det A = -8.

Vaihe 3: Käytä kaavaa A^-1= (adj A) / (det A) löytääksesi käänteisen matriisin A^-1.

Jaa adjointmatriisin jokainen elementti A:n determinantilla:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Murtolukujen yksinkertaistamisessa

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

3 × 3 -matriisin käänteisarvon löytäminen rivioperaatioiden avulla

Voit löytää 3×3-matriisin käänteisarvon seuraavasti:

Vaihe 1: Aloita annetusta 3×3 matriisista A ja luo samankokoinen identiteettimatriisi I asettamalla A lisätyn matriisin vasemmalle puolelle ja I oikealle viivalla erotettuna.

Vaihe 2: Käytä sarjaa rivioperaatioita lisättyyn matriisiin vasemmalla ja muuntaa se identiteettimatriisiksi I. Viivan oikealla puolella oleva matriisi, josta tulee A^-1, on alkuperäisen matriisin A käänteisarvo.

Lisätietoja, Matriisien perustoiminto

Myös Tarkista

• Matriisityypit
• Käännettävä matriisi
• Matriisin jälki

Ratkaistuja esimerkkejä 3 × 3 -matriisin käänteisestä

Esimerkki 1: Etsi käänteisarvo

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Ratkaisu:

Pieni matriisi D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Pieni matriisi D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Matriisin kofaktori eli X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transponoi matriisi X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nyt löydämme D:n determinantin käyttämällä ensimmäistä riviä:

Että D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Että D = 6+0+14

⇒ Että D = 20

Matriisin D tai D käänteis^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Esimerkki 2: Etsi käänteisarvo

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Matriisin minori E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Matriisin E kofaktori eli X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Etsitään nyt matriisin E determinantti käyttämällä ensimmäistä riviä:

Että E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Että E = -1 + 0 + 1

Että E = 0

jsp

∴ Koska matriisin E determinantti on yhtä suuri kuin 0, matriisin E tai E käänteisarvo^-1ei ole mahdollista.

Harjoittele 3 × 3 -matriisin käänteiskysymyksiä

Q1. Laske seuraavan 3×3 matriisin käänteisarvo:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Etsi Matriisi B:n käänteisarvo:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Selvitä, onko matriisi C käännettävä, ja jos on, etsi sen käänteinen:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Laske matriisin D käänteisarvo:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Tarkista matriisille E, onko se käännettävissä, ja jos on, etsi sen käänteinen:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

3×3-matriisin käänteinen – FAQ

1. Mikä on 3×3-matriisin käänteisluku?

3×3-matriisin käänteisarvo on toinen matriisi, joka kerrottuna alkuperäisellä matriisilla tuottaa identiteettimatriisin.

2. Miksi käänteisen löytäminen on tärkeää?

Se on välttämätön lineaaristen yhtälöjärjestelmien, muunnosten ja erilaisten matemaattisten operaatioiden ratkaisemiseksi.

3. Kuinka lasket 3×3-matriisin käänteisarvon?

Yleensä löydät adjointmatriisin, tarkistat determinantin nollasta poikkeavan arvon ja käytät tiettyä kaavaa.

4. Milloin 3×3-matriisin käänteistä ei ole olemassa?

Sitä ei ole olemassa, kun matriisin determinantti on nolla, mikä tekee siitä yksikön.

5. Voiko millä tahansa 3×3-matriisilla olla käänteinen?

Ei, vain ei-singulaarisilla matriiseilla, joiden determinantti ei ole nolla, on käänteisarvot.

6. Mikä on Adjoint Matrixin rooli käänteisen löytämisessä?

Adjoint-matriisi auttaa laskemaan käänteisarvoa tarjoamalla kofaktorit kullekin elementille.

7. Millä aloilla 3×3 matriisiinversion käsitettä käytetään laajalti?

3×3 Matrixinversion käsitettä käytetään tekniikassa, fysiikassa, tietokonegrafiikassa ja useilla matemaattisilla aloilla.

8. Kuinka saada 3×3-matriisin käänteisarvo?

Voit löytää 3×3-matriisin käänteisarvon seuraavasti:

• Ensin lasketaan matriisin determinantti.
• Jos determinantti ei ole yhtä suuri kuin 0, siirry seuraavaan vaiheeseen. Jos se on 0, matriisilla ei ole käänteisarvoa.
• Etsi alaikäisten matriisi luomalla 3 × 3 -matriisi jokaiselle alkuperäisen matriisin elementille, pois lukien sen elementin rivi ja sarake, johon keskityt.
• Laske kofaktorien matriisi soveltamalla plus- ja miinusmerkkien kuviota alaikäisten matriisin elementteihin.
• Transponoi kofaktorien matriisi vaihtamalla rivejä sarakkeisiin.
• Lopuksi jaa transponoitu kofaktorimatriisi determinantilla saadaksesi 3×3-matriisin käänteisarvo.