The Matrixin käänteinen on matriisi, joka alkuperäisellä matriisilla kertomalla saa aikaan identiteettimatriisin. Minkä tahansa matriisin A käänteismerkintä on A^-1.

Opitaan Matrix Inverse yksityiskohtaisesti, mukaan lukien sen määritelmä, kaava, menetelmät matriisin käänteisarvon löytämiseksi ja esimerkit.

Sisällysluettelo

• Matriisi käänteinen
• Matrix Inverse -sovellukseen liittyvät ehdot
• Kuinka löytää matriisin käänteis?
• Matriisikaavan käänteinen
• Käänteinen matriisimenetelmä
• Käänteinen 2×2 matriisi esimerkki
• Käänteisen matriisin determinantti
• Matriisin käänteisen ominaisuudet
• Matrixin käänteisratkaistuja esimerkkejä

Matriisi käänteinen

Matriisin käänteisluku on toinen matriisi, joka kerrottuna annetulla matriisilla antaa tuloksen moninkertainen identiteetti .

Matriisille A ja sen käänteisarvolle A^-1, identiteettiominaisuus pitää sisällään.

A.A ^-1 = A ^-1 A = I

missä minä on identiteettimatriisi.

Matrix Inverse -sovellukseen liittyvät ehdot

Alla lueteltu terminologia voi auttaa sinua ymmärtämään matriisin käänteisarvon selkeämmin ja helpommin.

Yksittäinen matriisi

Matriisia, jonka determinantin arvo on nolla, kutsutaan singulaarimatriisiksi, eli mitä tahansa matriisia A kutsutaan singulaarimatriisiksi, jos |A| = 0. Singulaarimatriisin käänteisarvoa ei ole olemassa.

Ei-yksittäinen matriisi

Matriisia, jonka determinantin arvo on muu kuin nolla, kutsutaan ei-singulaariseksi matriisiksi, eli mitä tahansa matriisia A kutsutaan ei-singulaariseksi matriisiksi, jos |A| ≠ 0. Ei-singulaarisen matriisin käänteisarvo on olemassa.

Identiteettimatriisi

Neliömatriisia, jossa kaikki alkiot ovat nollia päälävistäjäelementtejä lukuun ottamatta, kutsutaan identiteettimatriisiksi. Se esitetään käyttämällä I. Se on matriisin identiteettielementti kuten minkä tahansa matriisin A,

A × I = A

Esimerkki identiteettimatriisista on

minä_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Tämä on identiteettimatriisi, jonka järjestys on 3 × 3.

Lue lisää :

• Identiteettimatriisi

Kuinka löytää matriisin käänteis?

Matematiikassa on kaksi tapaa löytää matriisin käänteisarvo:

• Matrix Formulan käyttö
• Käänteismatriisimenetelmien käyttäminen

Matriisikaavan käänteinen

Matriisin A käänteisarvo eli A^-1lasketaan käyttämällä matriisin käänteiskaavaa, joka sisältää matriisin adjointin jakamisen sen determinantilla.

Matriisikaavan käänteinen

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

missä,

• adj A = matriisin A adjunkti ja
• |A| = matriisin A determinantti.

Huomautus : Tämä kaava toimii vain neliömatriiseilla.

Voit löytää matriisin käänteisen matriisin käänteiskaavan avulla seuraavasti.

Vaihe 1: Määritä kaikkien A-elementtien ala-arvot.

Vaihe 2: Seuraavaksi laske kaikkien elementtien kofaktorit ja rakenna kofaktorimatriisi korvaamalla A:n alkiot niiden vastaavilla kofaktoreilla.

Vaihe 3: Transposoi A:n kofaktorimatriisi löytääksesi sen adjunktio (kirjoitettuna adj A).

Vaihe 4: Kerro adj A A:n determinantin käänteisluvulla.

Nyt mille tahansa ei-singulaariselle neliömatriisille A,

A ^-1 = 1 / |A| × Adj (A)

Esimerkki: Etsi matriisin käänteisarvoA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]käyttämällä kaavaa.

Meillä on,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Etsi matriisin A adjointti laskemalla kunkin elementin kofaktorit ja hankkimalla sitten kofaktorimatriisin transponointi.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Etsi matriisin determinantin arvo.

|A| = 4 (18–25) – 3 (54–5) + 8 (30–2)

⇒ |A| = 49

Joten matriisin käänteisarvo on,

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Käänteinen matriisimenetelmä

On olemassa kaksi käänteismatriisimenetelmää matriisin käänteisen löytämiseksi:

1. Determinanttimenetelmä
2. Alkuperäinen muunnosmenetelmä

Menetelmä 1: Determinanttimenetelmä

Tärkein menetelmä matriisin käänteisen löytämiseksi on determinantin käyttö.

toimintoja kohdassa c

Käänteinen matriisi löytyy myös käyttämällä seuraavaa yhtälöä:

A ^-1 = adj(A) / det(A)

missä,

• adj(A) on matriisin A adjunkti, ja
• se (A) on matriisin A determinantti.

Matriisin A adjootin löytämiseksi tarvitaan A:n kofaktorimatriisi. Sitten adjoint (A) on A:n kofaktorimatriisin transponointi eli

adj (A) = [C _ij ] ^T

• Matriisin kofaktorille eli C_ij, voimme käyttää seuraavaa kaavaa:

C _ij = (-1) ^i+j se (M _ij )

missä M _ij viittaa (i, j) ^th pieni matriisi kun i ^th rivi ja j ^th sarake poistetaan.

Menetelmä 2: Alkuperäinen muunnosmenetelmä

Noudata alla olevia ohjeita löytääksesi käänteismatriisin alkeismuunnosmenetelmällä.

Vaihe 1 : Kirjoita annettu matriisi muotoon A = IA, missä I on samaa kertaluokkaa oleva identiteettimatriisi kuin A.

Vaihe 2: Käytä joko rivi- tai sarakeoperaatioiden järjestystä, kunnes identiteettimatriisi saavutetaan LHS:ssä. Käytä myös samanlaisia ​​perusoperaatioita RHS:ssä siten, että saamme I = BA. Siten RHS:n matriisi B on matriisin A käänteiskohta.

Vaihe 3: Varmista, että käytämme joko rivi- tai saraketoimintoa suoritettaessa perustoimintoja.

Voimme helposti löytää 2 × 2 -matriisin käänteisarvon käyttämällä perusoperaatiota. Ymmärretään tämä esimerkin avulla.

Esimerkki: Etsi käänteisarvo 2 × 2:lle, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}käyttämällä perustoimintoa.

Ratkaisu:

Annettu:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Nyt R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Siten matriisin A käänteisarvo = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} On

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Käänteinen 2×2 matriisi esimerkki

2×2-matriisin käänteisarvo voidaan laskea myös käyttämällä pikakuvakemenetelmää edellä käsitellyn menetelmän lisäksi. Tarkastellaan esimerkkiä ymmärtääksemme pikakuvakemenetelmän 2 × 2 -matriisin käänteisarvon laskemiseksi.

Annetulle matriisille A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Tiedämme, |A| = (mainos – bc)

ja adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

sitten käyttämällä käänteiskaavaa

A^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Näin ollen 2 × 2 -matriisin käänteisarvo lasketaan.

Käänteinen 3X3 matriisi esimerkki

Otetaan mikä tahansa 3×3 matriisi A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

java pino

3×3 matriisin käänteisarvo lasketaan käyttämällä käänteismatriisikaava ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Käänteisen matriisin determinantti

Käänteimatriisin determinantti on alkuperäisen matriisin determinantin käänteisluku. eli

se (A ^-1 ) = 1 / it(A)

Yllä olevan väitteen todistusta käsitellään alla:

det(A × B) = det (A) × det(B) (tiedään jo)

⇒ A × A^-1= I (käänteismatriisiominaisuudella)

⇒ it(A × A^-1) = se (minä)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ mutta, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ se (A^-1) = 1 / it(A)

Siksi todistettu.

Matriisin käänteisen ominaisuudet

Käänteismatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

• Kaikille ei-singulaarisille matriisille A, (A ^-1 ) ^-1 = A
• Kaikille kahdelle ei-singulaariselle matriisille A ja B, (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
• Ei-singulaarisen matriisin käänteisarvo on olemassa, singulaarimatriisille käänteistä ei ole olemassa.
• Kaikille ei-yksikölle A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Aiheeseen liittyvä:

• Käännettävä matriisi
• Matriisit: Ominaisuudet ja kaavat
• Matemaattinen operaatio matriiseilla
• Matrixin determinantti
• Kuinka löytää matriisin determinantti?

Matriisi käänteisesti ratkaistuja esimerkkejä

Ratkaistaan ​​joitain esimerkkikysymyksiä Matrixin käänteisestä.

Esimerkki 1: Etsi matriisin käänteisarvoold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}käyttämällä kaavaa.

Ratkaisu:

Meillä on,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Etsi matriisin A adjointti laskemalla kunkin elementin kofaktorit ja hankkimalla sitten kofaktorimatriisin transponointi.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Etsi matriisin determinantin arvo.

|A| = 2 (4–6) – 3 (4–4) + 1 (3–2)

= –3

Joten matriisin käänteisarvo on,

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

Esimerkki 2: Etsi matriisin A=old{ käänteisarvo kaavalla.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Ratkaisu:

Meillä on,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Etsi matriisin A adjointti laskemalla kunkin elementin kofaktorit ja hankkimalla sitten kofaktorimatriisin transponointi.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Etsi matriisin determinantin arvo.

|A| = 6 (0–4) – 2 (0–8) + 3 (0–0)

= 16

Joten matriisin käänteisarvo on,

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

Esimerkki 3: Etsi matriisin A= käänteisarvoold{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } käyttämällä kaavaa.

Ratkaisu:

Meillä on,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Etsi matriisin A adjointti laskemalla kunkin elementin kofaktorit ja hankkimalla sitten kofaktorimatriisin transponointi.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Etsi matriisin determinantin arvo.

|A| = 1 (1–0) – 2 (0–0) + 3 (0–0)

= 1

Joten matriisin käänteisarvo on,

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Esimerkki 4: Etsi matriisin A= käänteisarvoold{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } käyttämällä kaavaa.

Ratkaisu:

Meillä on,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Etsi matriisin A adjointti laskemalla kunkin elementin kofaktorit ja hankkimalla sitten kofaktorimatriisin transponointi.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Etsi matriisin determinantin arvo.

|A| = 1 (1–16) – 2 (2–12) + 3 (8–3)

= 20

Joten matriisin käänteisarvo on,

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Usein kysyttyjä kysymyksiä Matrixin käänteisestä

Mikä on Matrixin käänteis?

Matriisin käänteislukua kutsutaan matriisin käänteiseksi. Vain neliömatriisit, joissa on nollasta poikkeavia determinantteja, ovat käänteisiä. Oletetaan minkä tahansa neliömatriisin A, jossa on käänteismatriisi B, tulo on aina samaa kertaluokkaa oleva identiteettimatriisi (I).

[A] × [B] = [I]

Mikä on Matrix?

Matriisi on suorakaiteen muotoinen joukko numeroita, jotka on jaettu tiettyyn määrään rivejä ja sarakkeita. Matriisin rivien ja sarakkeiden määrää kutsutaan sen mittasuhteeksi tai järjestykseksi.

Mikä on 2×2-matriisin käänteisarvo?

Minkä tahansa matriisin A tai järjestyksen 3 × 3 käänteisluku löytyy kaavalla,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Mikä on 3×3-matriisin käänteisarvo?

Minkä tahansa neliömäisen 3 × 3 matriisin käänteisarvo (sanotaan A) on samaa järjestystä oleva matriisi, jota merkitään A:lla^-1siten, että heidän tulonsa on Identiteettimatriisi, jonka kertaluku on 3×3.

[A] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [minä] _3×3

Ovatko adjoint ja matriisin käänteiset samat?

Ei, matriisin adjoint ja matriisin käänteisarvo eivät ole sama asia.

Kuinka käyttää matriisin käänteistä?

Matriisin käänteisarvoa käytetään algebrallisten lausekkeiden ratkaisemiseen matriisimuodossa. Esimerkiksi ratkaistaksesi AX = B, jossa A on kerroinmatriisi, X on muuttujamatriisi ja B on vakiomatriisi. Tässä muuttujamatriisi löytyy käänteisoperaatiolla kuten

X = A ^-1 B

Mitä ovat käännettävät matriisit?

Matriiseja, joiden käänteinen on olemassa, kutsutaan käänteisiksi. Käännettävät matriisit ovat matriiseja, joilla on nollasta poikkeava determinantti.

Miksi 2 × 3 -matriisin käänteistä ei ole olemassa?

Vain neliömatriisin käänteisarvo on olemassa. Koska 2 × 3 -matriisi ei ole neliömatriisi, vaan suorakaiteen muotoinen matriisi, sen käänteistä ei ole olemassa.

Vastaavasti 2 × 1 -matriisi ei myöskään ole neliömatriisi, vaan pikemminkin suorakaiteen matriisi, joten sen käänteistä ei ole olemassa.

Mikä on identiteettimatriisin käänteis?

Identiteettimatriisin käänteisarvo on itse identiteettimatriisi. Tämä johtuu siitä, että identiteettimatriisi, joka on merkitty nimellä minä (tai minä _n varten an n × n matriisi), on ainoa matriisi, jonka jokainen elementti päädiagonaalilla on 1 ja kaikki muut elementit ovat 0. Kun kerromme identiteettimatriisin itsellään (tai sen käänteisarvolla), saamme identiteettimatriisin uudelleen.