Matriisin arvo määritellään sen sarakkeiden muodostaman vektoriavaruuden mittana. Matriisin arvo on erittäin tärkeä käsite lineaarialgebran alalla, koska se auttaa meitä tietämään, voimmeko löytää ratkaisun yhtälöjärjestelmään vai emme. Matriisin sijoitus auttaa meitä myös tuntemaan sen vektoriavaruuden ulottuvuuden.

Tässä artikkelissa tarkastellaan yksityiskohtaisesti matriisin arvon käsitettä, mukaan lukien sen määritelmä, kuinka laskea matriisin arvo sekä mitätöinti ja sen suhde luokkaan. Opimme myös ratkaisemaan joitakin ongelmia matriisin arvon perusteella. Joten aloitetaan ensin matriisin arvon määrittelystä.

Sisällysluettelo

• Mikä on Matrixin sijoitus?
• Kuinka laskea matriisin sijoitus?
• Matriisin arvon ominaisuudet
• Esimerkkejä matriisin sijoituksesta
• UKK

Mikä on Matrixin sijoitus?

Matriisin sijoitus on lineaarialgebran peruskäsite, joka mittaa lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden maksimimäärän missä tahansa matriisissa. Toisin sanoen se kertoo, kuinka monet matriisin riveistä tai sarakkeista eivät ole hyödyllisiä ja vaikuttavat matriisin yleistietoon tai ulottuvuuteen. Määritellään matriisin sijoitus.

Matriisimääritelmän sijoitus

Matriisin sijoitus määritellään lineaarisesti riippumattomien rivien lukumääränä a:ssa matriisi .

selittää tietojen riippumattomuus

Sitä merkitään ρ(A):lla, jossa A on mikä tahansa matriisi. Siten matriisin rivien lukumäärä on raja matriisin järjestykselle, mikä tarkoittaa, että matriisin järjestys ei voi ylittää matriisin rivien kokonaismäärää.

Esimerkiksi, jos matriisi on suuruusluokkaa 3 × 3, matriisin maksimiarvo voi olla 3.

Huomautus: Jos matriisissa on kaikki rivit, joissa on nolla alkiota, niin matriisin järjestyksen sanotaan olevan nolla.

Matrixin mitättömyys

Tietyssä matriisissa nollaavaruudessa olevien vektorien lukumäärää kutsutaan matriisin tyhjäksi tai se voidaan määritellä myös annetun matriisin nolla-avaruuden dimensioksi.

Matriisin sarakkeiden kokonaismäärä = Rank + Nullity

Lue lisää aiheesta Rankin tyhjyyslause .

Kuinka laskea matriisin sijoitus?

On olemassa 3 menetelmää, joilla voidaan saada minkä tahansa tietyn matriisin sijoitus. Nämä menetelmät ovat seuraavat:

• Pieni menetelmä
• Echelon-lomakkeen käyttö
• Normaalin lomakkeen käyttö

Keskustellaan näistä menetelmistä yksityiskohtaisesti.

Pieni menetelmä

Edellytys: Matrixin alaikäiset

Jotta matriisin sijoitus voidaan löytää pienellä menetelmällä, noudata seuraavia vaiheita:

• Laske matriisin determinantti (sano A). Jos det(A) ≠ 0, niin matriisin A järjestys = matriisin A järjestys.
• Jos det(A) = 0, niin matriisin järjestys on yhtä suuri kuin matriisin suurimman mahdollisen ei-nolla-mollin kertaluku.

Ymmärrämme, kuinka löytää matriisin sijoitus sivumenetelmällä.

Esimerkki: Etsi matriisin sijoitus egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} pienellä menetelmällä.

AnnettuA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Vaihe 1: Laske A:n determinantti

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Koska det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 kertaluku

Echelon-lomakkeen käyttö

Sivumenetelmästä tulee erittäin ikävä, jos matriisin järjestys on erittäin suuri. Joten tässä tapauksessa muunnamme matriisin Echelon-muodoksi. Matriisi, joka on sisällä ylempi kolmiomuoto tai alempi kolmiomuoto katsotaan olevan Echelon-muodossa. Matriisi voidaan muuntaa Echelon-muotoonsa käyttämällä perusrivioperaatiot . Seuraavia vaiheita noudatetaan matriisin sijoituksen laskemiseksi Echelon-lomakkeella:

• Muunna annettu matriisi Echelon-muodoksi.
• Matriisin Echelon-muodossa saatujen nollasta poikkeavien rivien lukumäärä on matriisin arvo.

Ymmärrämme, kuinka löytää matriisin arvo pikkumenetelmällä.

Esimerkki: Etsi matriisin sijoitus egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} käyttäen Echelon-lomakemenetelmää.

AnnettuA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Vaihe 1: Muunna A echelon-muodoksi

Käytä R₂= R₂– 4R₁

Käytä R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Käytä R₃= R₃– 2R₂

vesileima sanassa

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Koska matriisi A on nyt alemmassa kolmiossa, se on Echelon-muodossa.

• Vaihe 2: Nollasta poikkeavien rivien lukumäärä kohdassa A = 2. Siten ρ(A) = 2

Normaalin lomakkeen käyttö

Matriisin sanotaan olevan normaalimuodossa, jos se voidaan pelkistää muotoon egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Täällä minä_redustaa kertaluvun r identiteettimatriisia. Jos matriisi voidaan muuntaa normaalimuotoonsa, niin matriisin arvoksi sanotaan r.

Ymmärrämme, kuinka löytää matriisin arvo pikkumenetelmällä.

Esimerkki: Etsi matriisin sijoitus old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} normaalimuotoisella menetelmällä.

AnnettuA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Käytä R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁ja R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Käytä R₁= R₁– 2R₂ja R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Käytä R₁= R₁+ R₃ja R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Käytä C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Siten A voidaan kirjoittaa muodossa egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Siten ρ(A) = 3

Matriisin arvon ominaisuudet

Matriisin järjestyksen ominaisuudet ovat seuraavat:

• Matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin matriisin järjestys, jos se on ei-singulaarinen matriisi.
• Matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä, jos se on Echelon-muodossa.
• Matriisin sijoitus on sama kuin siinä olevan identiteettimatriisin järjestys, jos se on normaalimuodossa.
• Matriisin sijoitus
• Matriisin sijoitus
• Identiteettimatriisin järjestys on yhtä suuri kuin identiteettimatriisin järjestys.
• Nollamatriisin tai nollamatriisin sijoitus on nolla.

Lue lisää,

• Matriisityypit
• Matriisin transponointi
• Matrixin käänteinen

Esimerkkejä matriisin sijoituksesta

JA esimerkki 1: Etsi matriisin arvo old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} pienellä menetelmällä.

Ratkaisu:

AnnettuA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Vaihe 1: Laske A:n determinantti

it(A) = -1 (35 - 48) + 2 (28 - 42) - 3 (32 - 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Koska det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 kertaluku

Esimerkki 2. Etsi matriisin järjestys old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} pienellä menetelmällä.

Ratkaisu:

AnnettuA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Vaihe 1: Laske A:n determinantti

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 - 72 = 216

Koska det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 kertaluku

Esimerkki 3. Etsi matriisin järjestys old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} käyttäen Echelon-lomakemenetelmää.

merkkijono int javaan

Ratkaisu:

AnnettuA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Vaihe 1: Muunna A echelon-muodoksi

Käytä R₂= R₂– 4R₁

Käytä R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Käytä R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Koska matriisi A on nyt alemmassa kolmiossa, se on Echelon-muodossa.

Vaihe 2: Nollasta poikkeavien rivien lukumäärä kohdassa A = 2. Siten ρ(A) = 2

Esimerkki 4. Etsi matriisin järjestys old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} käyttäen Echelon-lomakemenetelmää.

Ratkaisu:

AnnettuA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Vaihe 1: Muunna A echelon-muodoksi

Käytä R₂= R₂– 4R₁

Käytä R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Käytä R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Koska matriisi A on nyt alemmassa kolmiossa, se on Echelon-muodossa.

Vaihe 2: Nollasta poikkeavien rivien lukumäärä kohdassa A = 2. Siten ρ(A) = 2

Esimerkki 5. Etsi matriisin järjestys old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} normaalimuotoisella menetelmällä.

Ratkaisu:

AnnettuA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Käytä R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁ja R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Käytä R₁= R₁– 2R₂ja R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Käytä R₁= R₁+ R₃ja R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Käytä C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Käytä R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Siten A voidaan kirjoittaa muodossaegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Siten ρ(A) = 3

Matriisin sijoitus – UKK

Määrittele matriisin sijoitus.

Matriisin sijoitus määritellään matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumääräksi. Sitä merkitään ρ(A):lla, jossa A on mikä tahansa matriisi.

Kuinka löytää matriisin arvo?

Matriisin sijoitus voidaan laskea useilla eri menetelmillä, kuten:

• Pieni menetelmä
• Echelon-lomakkeen käyttö
• Normaalin lomakkeen käyttö

Mikä on matriisin arvo, jos matriisin determinantti ei ole nolla?

Jos matriisin determinantti on nolla, niin matriisin järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys.

Milloin Matrixin sanotaan olevan Echelon-muodossa?

Matriisin, joka on ylemmän kolmion muodossa tai alemmassa kolmion muodossa, sanotaan olevan echelon-muodossa.

Mikä on matriisin normaalimuoto?

Matriisin sanotaan olevan normaalimuodossa, jos se voidaan kirjoittaa muodossa egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} missä minä_ron kertaluvun 'r' identiteettimatriisi.

Mikä on nollamatriisin sijoitus?

Nollamatriisin sijoitus on nolla.

Mikä on identiteettimatriisin arvo?

Identiteettimatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin matriisin järjestys.

miksi merkkijono muuttumaton javassa

Mikä on matriisin mitättömyyden ja sijoituksen välinen suhde?

Matriisin mitättömyyden ja järjestyksen välinen suhde on:

Matriisin sarakkeiden kokonaismäärä = Rank + Nullity