Trigonometria on tärkeä matematiikan haara, joka käsittelee suorakulmaisen kolmion kulmien ja sivujen pituuden välistä suhdetta. Kuusi trigonometristä suhdetta tai funktiota ovat sini, kosini, tangentti, kosekantti ja sekantti, ja trigonometrinen suhde on suorakulmaisen kolmion sivujen välinen suhde. Sini-, kosini- ja tangenttifunktiot ovat kolme tärkeää trigonometristä funktiota, koska muut kolme, eli kosekantti-, sekantti- ja kotangenttifunktiot ovat sini-, kosini- ja tangenttifunktioiden käänteisfunktioita.

• sin θ = Vastakkainen puoli/hypotenuusa
• cos θ = Viereinen puoli/Hypotenuusa
• tan θ = vastakkainen puoli / viereinen puoli
• cosec θ = hypotenuusa/vastakkainen puoli
• sec θ = Hypotenuusa/viereinen puoli
• pinnasänky θ = Viereinen puoli/vastakkainen puoli

Tangenttifunktio on yksi kuudesta trigonometrisesta funktiosta, joita käytetään trigonometrian kaavat .

Sisällysluettelo

• Tangentin kaava
• Jotkut tangenttien peruskaavat
• Tangenttifunktio sinifunktion kannalta
• Tangenttifunktio kosinifunktiona
• Tangenttifunktio kotangenttifunktion kannalta
• Tangenttifunktio kosekanttifunktion kannalta
• Tangenttifunktio sekanttifunktion kannalta

Tangentin kaava

Kulman tangentti suorakulmaisessa kolmiossa on vastakkaisen sivun pituuden ja viereisen sivun pituuden suhde annettuun kulmaan. Kirjoitamme tangentin funktion tan. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota XYZ ja yksi sen teräväkulmaisista kulmista on θ. Vastakkainen puoli on sivu, joka on vastakkainen kulman θ kanssa ja viereinen sivu on sivu, joka on kulman θ vieressä.

Nyt annetun kulman θ tangenttikaava on,

tan θ = vastakkainen puoli / viereinen puoli

Jotkut tangenttien peruskaavat

Tangenttifunktio kvadranteissa

Tangenttifunktio on positiivinen ensimmäisessä ja kolmannessa kvadrantissa ja negatiivinen toisessa ja neljännessä neljänneksessä.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stkvadrantti)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndkvadrantti)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdkvadrantti)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thkvadrantti)

Tangenttifunktio negatiivisena funktiona

Tangenttifunktio on negatiivinen funktio, koska negatiivisen kulman tangentti on tangentin positiivisen kulman negatiivinen.

tan (-θ) = – tan θ

Tangenttifunktio sini- ja kosinifunktiona

Tangenttifunktio sini- ja kosinifunktioiden suhteen voidaan kirjoittaa seuraavasti,

tan θ = sin θ/cos θ

Tiedämme, että tan θ = vastakkainen puoli / viereinen puoli

Jaa nyt sekä osoittaja että nimittäjä hypotenuusalla

tan θ = (vastakkainen puoli/hypotenuusa)/(viereinen puoli/hypotenuusa)

Tiedämme, että sin θ = vastakkainen puoli/hypotenuusa

cos θ = viereinen sivu/hypotenuusa

Näin ollen tan θ = sin θ/cos θ

Tangenttifunktio sinifunktion kannalta

Tangenttifunktio sinifunktiona voidaan kirjoittaa seuraavasti,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² i)

Tiedämme sen,

tan θ = sin θ/cos θ

kuinka monta kaupunkia on yhdysvalloissa

Pythagoralaisista identiteeteistä meillä on

ilman²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – synti²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Näin ollen tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Tangenttifunktio kosinifunktiona

Tangenttifunktio kosinifunktiona voidaan kirjoittaa seuraavasti,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Tiedämme sen,

tan θ = sin θ/cos θ

Pythagoralaisista identiteeteistä meillä on

ilman²θ + cos²θ = 1

ilman²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Näin ollen tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Tangenttifunktio kotangenttifunktion kannalta

Tangenttifunktio kotangenttifunktion suhteen voidaan kirjoittaa seuraavasti,

tan θ = 1/vauvansänky θ

tai

tan θ = pinnasänky (90° – θ) (tai) pinnasänky (π/2 – θ)

Tangenttifunktio kosekanttifunktion kannalta

Tangenttifunktio kosekanttifunktiona voidaan kirjoittaa seuraavasti,

tan θ = 1/√(kosek ² minä - 1)

Pythagoralaisista identiteeteistä meillä on

cosec²θ – pinnasänky²θ = 1

pinnasänky²θ = kosek²minä - 1

pinnasänky θ = √(kosek²minä - 1)

Tiedämme sen,

tan θ = 1/vauvansänky θ

Näin ollen tan θ = 1/√(kosek²minä - 1)

Tangenttifunktio sekanttifunktion kannalta

Sekanttifunktion tangenttifunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti,

tan θ = √s ² minä - 1

Pythagoralaisista identiteeteistä meillä on

sek²θ – niin²θ = 1

tan θ = sek²minä - 1

Näin ollen tan θ = √(s²minä - 1)

Tangenttifunktio kaksoiskulman kannalta

Kaksoiskulman tangenttifunktio on,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Tangenttifunktio kolmoiskulman suhteen

Kolmoiskulman tangenttifunktio on,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1-3 tan ² i)

Tangenttifunktio puolikulman suhteen

Puolikulman tangenttifunktio on,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Tangenttifunktio kahden kulman yhteen- ja vähennyslaskussa

Tangenttifunktion summa- ja erotuskaavat ovat,

rusketus (A + B) = (rusketus A + rusketus B)/(1 – rusketus A rusketus B)

rusketus (A – B) = (rusketus A – rusketus B)/(1 + rusketus A rusketus B)

Trigonometrinen suhdetaulukko

Ratkaistu esimerkki tangenttikaavoista

Esimerkki 1: Etsi tan θ:n arvo, jos sin θ = 2/5 ja θ on ensimmäinen kvadranttikulma.

Ratkaisu:

Annettu,

• sin θ = 2/5

Pythagoralaisesta identiteetistä, joka meillä on,

ilman²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – synti²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Koska θ on ensimmäinen kvadranttikulma, cos θ on positiivinen.

jframe

cos θ = √21/5

Tiedämme sen,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21/21

Joten tan θ:n arvo, kun sin θ = 2/5 ja θ on ensimmäisessä kvadrantissa, on (2√21) /(21)

Esimerkki 2: Etsi tan x:n arvo, jos sec x = 13/12 ja x on neljäs kvadranttikulma.

Ratkaisu:

Annettu, sek x = 13/12

Pythagoralaisista identiteeteistä meillä on

sek²x - niin²x = 1

niin²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

niin²x = (169/144) – 1 = 25/144

rusketus x = ± 5/12

Koska x on neljäs kvadranttikulma, tan x on negatiivinen.

rusketus x = – 5/12

Siten, rusketus x = – 5/12

Esimerkki 3: Jos tan X = 2/3 ja tan Y = 1/2, mikä on tan (X + Y) arvo?

Ratkaisu:

Annettu,

tan X = 2/3 ja tan Y = 1/2

Tiedämme sen,

rusketus (X + Y) = (rusketus X + rusketus Y)/(1 – rusketus x rusketus Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3) × (1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Siten, tan(X + Y) = 7/4

Esimerkki 4: Laske tangenttifunktio, jos suorakulmaisen kolmion viereiset ja vastakkaiset sivut ovat 4 cm ja 7 cm.

Ratkaisu:

Annettu,

Vierekkäinen sivu = 4 cm

Vastakkainen puoli = 7 cm

Tiedämme sen,

tan θ = vastakkainen puoli / viereinen puoli

tan θ = 7/4 = 1,75

Siten, tan θ = 1,75

Esimerkki 5: Mies katsoo kellotornia 60° kulmassa tornin huipulle, jonka korkeus on 100 m. Mikä on miehen ja tornin jalan välinen etäisyys?

Ratkaisu:

Annettu,

Tornin korkeus = 100 m ja θ = 60°

Olkoon ihmisen ja tornin jalan välinen etäisyys = d

Meillä on,

tan θ = vastakkainen puoli / viereinen puoli

rusketus 60° = 100/d

√3 = 100/pv [Koska, joten 60° = √3]

d = 100/√3

Siksi miehen ja tornin jalan välinen etäisyys on 100/√3

Esimerkki 6: Etsi tan θ:n arvo, jos sin θ = 7/25 ja sec θ = 25/24.

Ratkaisu:

Annettu,

sin θ = 7/25

sek θ = 25/24

Tiedämme sen,

sek θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Meillä on,

tan θ = sin θ/cos θ

= (25/7)/(24/25)

= 7/24

Siten, tan θ = 7/24

Esimerkki 7: Etsi tan θ:n arvo, jos cosec θ = 5/3 ja θ on ensimmäinen kvadranttikulma.

Ratkaisu:

Annettu, cosec θ = 5/3

Pythagoralaisista identiteeteistä meillä on

kokoelmat javassa

cosec²θ – pinnasänky²θ = 1

pinnasänky²θ = kosek²minä - 1

pinnasänky θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

pinnasänky θ = ±√16/9 = ± 4/3

Koska θ on ensimmäinen kvadranttikulma, sekä kotangentti- että tangenttifunktiot ovat positiivisia.

pinnasänky θ = 4/3

Tiedämme sen,

pinnasänky θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Siten, tan θ = 3/4

Esimerkki 8: Etsi tan 3θ, jos sin θ = 3/7 ja θ on ensimmäinen kvadranttikulma.

Ratkaisu :

Annettu, sin θ = 12/13

Pythagoralaisesta identiteetistä, joka meillä on,

ilman²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – synti²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Koska θ on ensimmäinen kvadranttikulma, cos θ on positiivinen.

cos θ = 5/13

Tiedämme sen,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Näin ollen tan θ = 12/5

Nyt tiedämme, että

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)