Trigonometriakaavat ovat yhtälöitä, jotka yhdistävät kolmioiden sivut ja kulmat. Ne ovat välttämättömiä monien matematiikan, fysiikan, tekniikan ja muiden alojen ongelmien ratkaisemisessa.

Tässä on joitain yleisimmistä trigonometriakaavojen tyypeistä:

• Perusmääritelmät: Nämä kaavat määrittelevät trigonometriset suhteet (sini, kosini, tangentti jne.) suorakulmaisen kolmion sivuina.
• Pythagoraan lause: Tämä lause liittyy suorakulmaisen kolmion sivujen pituuteen.
• Kulmasuhteet: Nämä kaavat liittyvät eri kulmien trigonometrisiin suhteisiin, kuten summa- ja erotuskaavat, kaksoiskulmakaavat ja puolikulmakaavat.
• Vastavuoroiset identiteetit: Nämä kaavat ilmaisevat yhden trigonometrisen suhteen toisen suhteen, kuten sin(θ) = 1/coc(θ).
• Yksikköympyrä: Yksikköympyrä on graafinen esitys trigonometrisista suhteista, ja sitä voidaan käyttää monien muiden kaavojen johtamiseen.
• Sinien laki ja kosinin laki: Nämä lait koskevat minkä tahansa kolmion sivuja ja kulmia, eivät vain suorakulmioita.

Lue eteenpäin oppiaksesi erilaisista trigonometrisista kaavoista ja identiteeteistä, ratkaistuista esimerkeistä ja harjoittelutehtävistä.

Sisällysluettelo

• Mikä on trigonometria?
• Trigonometriakaavan yleiskatsaus
• Trigonometriset perussuhteet
• Trigonometriset identiteetit
• Luettelo trigonometriakaavoista

Mikä on trigonometria?

Trigonometria määritellään matematiikan haaraksi, joka keskittyy kolmioiden pituuksiin ja kulmiin liittyvien suhteiden tutkimiseen. Trigonometria koostuu erilaisista ongelmista, jotka voidaan ratkaista trigonometristen kaavojen ja identiteettien avulla.

Trigonometriafunktiot

Trigonometriset funktiot ovat matemaattisia funktioita, jotka yhdistävät suorakulmaisen kolmion kulmat sen sivujen pituuteen. Niillä on laajat sovellukset useilla eri aloilla, kuten fysiikassa, tekniikassa, tähtitiedessä ja muilla. Ensisijaisia ​​trigonometrisia funktioita ovat sini, kosini, tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti.

Trigonometriakaavan yleiskatsaus

Trigonometriakaavat ovat matemaattisia lausekkeita, jotka yhdistävät a:n kulmat ja sivut Suorakulmainen kolmio . On 3 sivua suorakulmainen kolmio on tehty:

• Hypotenuusa : Tämä on suorakulmaisen kolmion pisin sivu.
• Pystysuora/vastakkainen puoli : Se on sivu, joka muodostaa suoran kulman annettuun kulmaan nähden.
• Pohja : Pohja viittaa viereiseen puoleen, jossa sekä hypotenuusa että vastakkainen puoli on yhdistetty.

Trigonometriasuhde

Kaikki trigonometriset suhteet, tuloiden identiteetit, puolikulmakaavat, kaksoiskulmakaavat, summa- ja ero-identiteetit, kofunktioiden identiteetit, suhdemerkit eri kvadranteissa jne. on esitetty tässä lyhyesti luokkien 9, 10, 11, 12 oppilaille. .

entiteetti suhteellinen

Tässä on luettelo trigonometrian kaavoista, joista aiomme keskustella:

• Trigonometristen suhteiden peruskaavat
• Yksikköympyrän kaavat
• Trigonometriset identiteetit

Trigonometriset perussuhteet

Trigonometriassa on 6 suhdetta. Näitä kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi. Alla on luettelo trigonometriset suhteet , mukaan lukien sini, kosini, sekantti, kosekantti, tangentti ja kotangentti.

Yksikköympyräkaava trigonometriassa

Yksikköympyrälle, jonka säde on 1, i on kulma. Hypotenuusan ja kannan arvot ovat yhtä suuria kuin yksikköympyrän säde.

Hypotenuusa = viereinen puoli (pohja) = 1

Trigonometrian suhteet saadaan seuraavasti:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• pinnasänky θ = x/y
• sek θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Trigonometrinen funktiokaavio

Trigonometriset identiteetit

Trigonometristen funktioiden välinen suhde ilmaistaan ​​trigonometristen identiteettien avulla, joita joskus kutsutaan trigonometrisiksi identiteeteiksi tai trigikaavoiksi. Ne pysyvät todellisina kaikille niille annettujen muuttujien reaalilukuarvoille.

• Vastavuoroiset identiteetit
• Pythagoraan identiteetit
• Jaksoisuusidentiteetit (radiaaneina)
• Parillisen ja parittoman kulman kaava
• Yhteistoimintojen identiteetit (asteina)
• Summa- ja ero-identiteetit
• Kaksoiskulma-identiteetit
• Käänteiset trigonometriakaavat
• Kolmikulmaiset identiteetit
• Puolikulman identiteetit
• Summa tuoteidentiteeteihin
• Tuoteidentiteetit

Keskustellaan näistä identiteetistä yksityiskohtaisesti.

Vastavuoroiset identiteetit

Kaikki vastavuoroiset identiteetit saadaan käyttämällä suorakulmaista kolmiota referenssinä. Vastavuoroiset identiteetit ovat seuraavat:

• cosec θ = 1/sin θ
• sek θ = 1/cos θ
• pinnasänky θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/kosek θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/vauvansänky θ

Pythagoraan identiteetit

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa, jos 'c' on hypotenuusa ja 'a' ja 'b' ovat kaksi jalkaa, niin c2 = a2 + b2. Pythagoraan identiteetit voidaan saada käyttämällä tätä lausetta ja trigonometrisiä suhteita. Käytämme näitä identiteettejä muuntaaksemme yhden trig-suhteen toiseksi .

• ilman²θ + cos²θ = 1
• 1 + niin²θ = sek²i
• 1 + pinnasänky²θ = kosek²i

Trigonometriakaavakaavio

Jaksoisuusidentiteetit (radiaaneina)

Näitä identiteettejä voidaan käyttää kulmien siirtämiseen π/2:lla, π:llä, 2π:lla jne. Näitä kutsutaan myös yhteisfunktioidentiteeteiksi.

Kaikki trigonometriset identiteetit toistaa itseään tietyn ajan kuluttua. Siksi ne ovat luonteeltaan syklisiä. Tämä arvojen toistoaika on erilainen eri trigonometrisille identiteeteille.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Tässä on taulukko, joka vertaa trigonometrisiä ominaisuuksia eri kvadranteissa:

Parillisen ja parittoman kulman kaava

Parillisen ja parittoman kulman kaavoja, jotka tunnetaan myös nimellä parilliset-parittomat identiteetit, käytetään negatiivisten kulmien trigonometristen funktioiden ilmaisemiseen positiivisina kulmina. Nämä trigonometriset kaavat perustuvat parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksiin.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tan9
• cot(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -kosekθ

Yhteistoimintojen identiteetit (asteina)

Yhteisfunktioidentiteetit antavat meille keskinäisen suhteen eri trigonometriafunktioiden välillä. Yhteisfunktiot on lueteltu tässä asteina:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = pinnasänky x
• pinnasänky(90°−x) = rusketus x
• sek(90°−x) = kosek x
• cosec(90°−x) = sek x

Summa- ja ero-identiteetit

Summa- ja ero-identiteetit ovat kaavoja, jotka yhdistävät kahden kulman summan tai eron sinin, kosinin ja tangentin yksittäisten kulmien sineihin, kosineihin ja tangentteihin.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Kaksoiskulma-identiteetit

Kaksoiskulmaidentiteetit ovat kaavoja, jotka ilmaisevat kulmien trigonometrisiä funktioita, jotka ovat kaksinkertaiset tietyn kulman mittaan alkuperäisen kulman trigonometristen funktioiden suhteen.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – ilman²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + rusketus²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• rusketus (2x) = [2tan(x)]/ [1 – rusketus²(x)]
• s (2x) = s²x/(2 – sek²x)
• kosek (2x) = (sek x • kosek x)/2

Käänteiset trigonometriakaavat

Käänteiset trigonometriset kaavat liittyvät käänteisiin trigonometrisiin funktioihin, jotka ovat trigonometristen perusfunktioiden käänteisfunktioita. Näitä kaavoja käytetään kulman löytämiseen, joka vastaa annettua trigonometristä suhdetta.

• ilman ^-1 (–x) = – synti ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• niin ^-1 (–x) = – tan ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – kosek ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• pinnasänky ^-1 (–x) = π – pinnasänky ^-1 x

Kolmikulmaiset identiteetit

Triple Angle Identiteetit ovat kaavoja, joita käytetään ilmaisemaan kolmoiskulmien (3θ) trigonometriset funktiot yksittäisten kulmien (θ) funktioina. Nämä trigonometriset kaavat ovat hyödyllisiä trigonometristen yhtälöiden yksinkertaistamisessa ja ratkaisemisessa, kun kyseessä ovat kolmoiskulmat.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

jalat vs jalka

cos 3x = 4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Puolikulman identiteetit

Puolikulman identiteetit ovat niitä trigonometrisiä kaavoja, joita käytetään määrittämään tietyn kulman puolikkaan sini, kosini tai tangentti. Näitä kaavoja käytetään puolikulmien trigonometristen funktioiden ilmaisemiseen alkuperäisen kulman suhteen.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Myös,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Summa tuoteidentiteeteihin

Summasta tuotteeseen -identiteetit ovat trigonometrisiä kaavoja, jotka auttavat meitä ilmaisemaan trigonometristen funktioiden summia tai eroja trigonometristen funktioiden tuloina.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + kodikas = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − kodikas = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Tuoteidentiteetit

Tuoteidentiteetit, jotka tunnetaan myös tuote-summa-identiteeteinä, ovat kaavoja, jotka mahdollistavat trigonometristen funktioiden tulojen ilmaisemisen trigonometristen funktioiden summina tai eroina.

Nämä trigonometriset kaavat on johdettu sinin ja kosinin summa- ja erotuskaavoista.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Luettelo trigonometriakaavoista

Alla oleva taulukko sisältää perustrigonometriset suhteet kulmille, kuten 0°, 30°, 45°, 60° ja 90°, joita käytetään yleisesti ongelmien ratkaisemiseen.

Ratkaistiin kysymyksiä trigonometriakaavasta

Tässä on joitain ratkaistuja esimerkkejä trigonometrian kaavoista, joiden avulla saat paremman käsityksen käsitteistä.

Kysymys 1: Jos cosec θ + cot θ = x, etsi kosek θ – cot θ arvo trigonometriakaavan avulla.

imessage-pelit Androidilla

Ratkaisu:

cosec θ + cot θ = x

Tiedämme, että cosec²θ+ pinnasänky²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ-cot θ = 1/x

Kysymys 2: Osoita trigonometriakaavojen avulla, että tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Ratkaisu:

Meillä on,

L.H.S = rusketus 10 ° siis 15 ° siis 75 ° siis 80 °

= rusketus (90-80) ° siis 15 ° rusketus (90-15) ° siis 80 °

= pinnasänky 80 ° siis 15 ° pinnasänky 15 ° siis 80 °

=(pinnasänky 80 ° * siis 80 ° )( pinnasänky 15 ° * siis 15 ° )

= 1 = R.H.S

Kysymys 3: Jos sin θ cos θ = 8, etsi (sin θ + cos θ) arvo ² käyttämällä trigonometriakaavoja.

Ratkaisu:

(sin θ + cos θ)²

suunnittelukuvioita javassa

= ilman²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2 (8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Kysymys 4: Todista trigonometristen kaavojen avulla, että (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Ratkaisu:

L.H.S = (tan θ + s θ – 1)/(tan θ – s θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – niin²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Alkaen, sek²θ – niin²θ = 1]

javascript pudotusvalikosta

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – s θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – s θ + tan θ)}/(tan θ – s θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – s θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Todistettu.

Usein kysytyt kysymykset trigonometrisista kaavoista ja identiteeteistä

Mikä on trigonometria?

Trigonometria on matematiikan haara, joka keskittyy kolmioiden, erityisesti suorakulmaisten kolmioiden, kulmien ja sivujen välisiin suhteisiin.

Mitkä ovat kolme trigonometristä perussuhdetta?

• Sin A = kohtisuora/hypotenuusa
• Cos A = emäs/hypotenuusa
• Tan A = kohtisuora/pohja

Mihin kolmioon trigonometriset kaavat soveltuvat?

Trigonometriset kaavat soveltuvat suorakulmaisiin kolmioihin.

Mitkä ovat tärkeimmät trigonometriset suhteet?

Sini, kosini, tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti.

Millä kulmalla rusketussuhteen arvo on yhtä suuri kuin sängyn suhde?

Arvolle 45° rusketus 45° = pinnasänky 45° = 1.

Mikä on sin3x:n kaava?

Sin3x:n kaava on 3sin x – 4 sin³x.