Paraabelikaavan huippupiste: Pistettä, jossa paraabeli ja sen symmetria-akseli leikkaavat, kutsutaan paraabelin kärjeksi. Sitä käytetään määrittämään sen pisteen koordinaatit paraabelin symmetria-akselilla, missä se leikkaa sen. Paraabelin standardiyhtälölle y = ax²+ bx + c, kärkipiste on koordinaatti (h, k). Jos kerroin x²yhtälössä on positiivinen (a> 0), silloin kärki on alaosassa, muuten se on yläpuolella.

Tässä artikkelissa keskustelemme paraabelin kärki, sen kaava, kaavan johtaminen ja siitä ratkaistut esimerkit.

Sisällysluettelo

• Paraabelin kärjen ominaisuudet
• Paraabelikaavan kärkipiste
• Paraabelikaavan kärjen johtaminen
• Esimerkkitehtävät paraabelikaavan kärjessä

Paraabelin huippupiste

Paraabelin kärjen ominaisuudet

• Jokaisen paraabelin kärki on sen käännekohta.
• Paraabelifunktion derivaatta sen kärjessä on aina nolla.
• Joko ylä- tai alapuolelta avoimen paraabelin kärjessä on maksimi tai minimi.
• Vasemman tai oikeanpuoleisen avoimen paraabelin kärki ei ole paraabelin maksimi eikä minimi.
• Vertex on paraabelin ja sen symmetria-akselin leikkauspiste.

Paraabelikaavan kärkipiste

Paraabelin kärkimuodolle y = a(x – h)²+ k, kärjen koordinaatit (h, k) ovat,

(h, k) = (-b/2a, -D/4a)

missä,

a on x:n kerroin²,

b on x:n kerroin,

D = b²– 4ac on vakiomuodon y = ax diskriminantti²+ bx + c.

Paraabelikaavan kärjen johtaminen

Oletetaan, että meillä on paraabeli, jonka vakioyhtälö on, y = ax²+ bx + c.

Tämä voidaan kirjoittaa näin,

y – c = ax²+ bx

y – c = a (x²+ bx/a)

Lisääminen ja vähentäminen b²/4a²RHS:ssä saamme

y – c = a (x²+ bx/a + b²/4a²– b²/4a²)

y – c = a ((x + b/2a)²– b²/4a²)

y – c = a (x + b/2a)²– b²/4a

y = a (x + b/2a)²– b²/4a + c

y = a (x + b/2a)²– (s²/4a - c)

y = a (x + b/2a)²– (s²– 4ac)/4a

Tiedämme, D = b²– 4ac, joten yhtälöstä tulee

y = a (x + b/2a)²– D/4a

Vertaamalla yllä olevaa yhtälöä kärkimuotoon y = a(x – h)²+ k, saamme

h = -b/2a ja k = -D/4a

Tämä johtaa kaavan paraabelin kärjen koordinaateille.

Ihmiset lukevat myös:

• Paraabelin kaavio, ominaisuudet, esimerkit ja yhtälö
• Paraabelin standardiyhtälö esimerkkien kanssa

Esimerkkitehtävät paraabelikaavan kärjessä

Tehtävä 1. Etsi paraabelin y = 2x kärjen koordinaatit ² + 4x - 4.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö, y = 2x²+ 4x - 4.

Tässä a = 2, b = 4 ja c = -4.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit on annettu kaavalla (-b/2a, -D/4a) missä D = b²– 4ac.

D = (4)²– 4 (2) (-4)

= 16 + 32

= 48

Joten x – kärjen koordinaatti = -4/2(2) = -4/4 = -1.

y – kärjen koordinaatti = -48/4(2) = -48/8 = -6

Siten paraabelin kärki on (-1, -6).

Tehtävä 2. Etsi paraabelin y = 3x kärjen koordinaatit ² + 5x - 2.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö, y = 3x²+ 5x - 2.

Tässä a = 3, b = 5 ja c = -2.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit on annettu kaavalla (-b/2a, -D/4a) missä D = b²– 4ac.

D = (5)²– 4 (3) (-2)

= 25 + 24

= 49

Joten x – kärjen koordinaatti = -5/2(3) = -5/6

y – kärjen koordinaatti = -49/4(3) = -49/12

Paraabelin huippupiste on siis (-5/6, -49/12).

Tehtävä 3. Etsi paraabelin y = 3x kärjen koordinaatit ² – 6x + 1.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö, y = 3x²– 6x + 1.

Tässä a = 3, b = -6 ja c = 1.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit on annettu kaavalla (-b/2a, -D/4a) missä D = b²– 4ac.

D = (-6)²– 4 (3) (1)

= 36-12

= 24

Joten x – kärjen koordinaatti = 6/2(3) = 6/6 = 1

y – kärjen koordinaatti = -24/4(3) = -24/12 = -2

Siten paraabelin kärki on (1, -2).

Tehtävä 4. Etsi paraabelin y = 3x kärjen koordinaatit ² + 8x - 8.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö, y = 3x²+ 8x - 8.

Tässä a = 3, b = 8 ja c = -8.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit on annettu kaavalla (-b/2a, -D/4a) missä D = b²– 4ac.

D = (8)²– 4 (3) (-8)

= 64 + 96

= 160

Joten x – kärjen koordinaatti = -8/2(3) = -8/6 = -4/3

y – kärjen koordinaatti = -160/4(3) = -160/12 = -40/3

Siten paraabelin kärkipiste on (-4/3, -40/3).

Tehtävä 5. Etsi paraabelin y = 6x kärjen koordinaatit ² + 12x + 4.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö kuin, y = 6x²+ 12x + 4.

kevään saappaiden arkkitehtuuri

Tässä a = 6, b = 12 ja c = 4.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit on annettu kaavalla (-b/2a, -D/4a) missä D = b²– 4ac.

D = (12)²– 4 (6) (4)

= 144-96

= 48

Joten x – kärjen koordinaatti = -12/2(6) = -12/12 = -1

y – kärjen koordinaatti = -48/4(6) = -48/24 = -2

Paraabelin huippupiste on siis (-1, -2).

Tehtävä 6. Etsi paraabelin y = x kärjen koordinaatit ² + 7x - 5.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö kuin y = x²+ 7x - 5.

Tässä a = 1, b = 7 ja c = -5.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit on annettu kaavalla (-b/2a, -D/4a) missä D = b²– 4ac.

D = (7)²– 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Joten x – kärjen koordinaatti = -7/2(1) = -7/2

y – kärjen koordinaatti = -69/4(1) = -69/4

Siten paraabelin kärkipiste on (-7/2, -69/4).

Tehtävä 7. Etsi paraabelin y = 2x kärjen koordinaatit ² + 10x - 3.

Ratkaisu:

Meillä on yhtälö: y = x2 + 7x – 5.

Tässä a = 1, b = 7 ja c = -5.

Nyt tiedetään, että kärjen koordinaatit saadaan kaavalla, (-b/2a, -D/4a), missä D = b2 – 4ac.

D = (7)2 – 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Joten x – kärjen koordinaatti = -7/2(1) = -7/2

y – kärjen koordinaatti = -69/4(1) = -69/4

Siten paraabelin kärkipiste on (-7/2, -69/4).

Usein kysytyt kysymykset parabolakaavan kärjestä

Mitä tarkoitat paraabelin kärjellä?

Pistettä, jossa paraabeli ja sen symmetria-akseli leikkaavat, kutsutaan paraabelin kärjeksi. Sitä käytetään määrittämään sen pisteen koordinaatit paraabelin symmetria-akselilla, missä se leikkaa sen.

Miten paraabelin kärkipiste lasketaan?

Paraabelin standardiyhtälölle y = ax²+ bx + c, kärkipiste on koordinaatti (h, k).

Kirjoita paraabelin kärjen ominaisuudet.

1. Jokaisen paraabelin kärki on sen käännekohta.

2. Paraabelifunktion derivaatta sen kärjessä on aina nolla.

3. Paraabelilla, joka on joko ylä- tai alapuolelta avoin, on maksimi tai minimi kärjessä.

4. Vasemman tai oikeanpuoleisen avoimen paraabelin kärki ei ole paraabelin maksimi eikä minimi.

5. Vertex on paraabelin ja sen symmetria-akselin leikkauspiste.

Paraabelin kärkimuoto on annettu. Miten löytäisit sen huippupisteen?

Paraabelin standardiyhtälölle y = ax²+ bx + c, kärkipiste on koordinaatti (h, k).

Mitä tarkoitat paraabelilla?

Paraabeli on asetettu kaikista tason pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta. Pistettä kutsutaan paraabelin keskipisteeksi.

Kuinka piirtää paraabeli sen kärjellä?

1. Etsi x- ja y-koordinaatit.

2. Kirjoita kaksi tarkennusta pienempää ja kaksi suurempaa lukua ja merkitse ne x-koordinaateiksi.

3. Korvaa x:n arvo funktiolla ja etsi y-koordinaatit.

4.Tunnista paraabelin kohdistus ja kärkipiste ja piirrä koordinaatit graafiselle paperille.