Arkitangenttifunktion derivaatta on merkitty tan^-1(x) tai arctan(x). Se on yhtä suuri kuin 1/(1+x ² ) . Arkitangenttifunktion derivaatta on löydetty määrittämällä arctan funktion muutosnopeus riippumattoman muuttujan suhteen. Tekniikkaa trigonometristen funktioiden johdannaisten löytämiseksi kutsutaan trigonometriseksi differentiaatioksi.

Arctanin johdannainen

Tässä artikkelissa opimme arctan x:n derivaatta ja sen kaava mukaan lukien kaavan todistus. Muuten olemme toimittaneet myös joitain ratkaistuja esimerkkejä ymmärtämisen helpottamiseksi.

Arctan x:n johdannainen

Arktangenttifunktion derivaatta tai arctan(x) on 1/(1+x ² ). Arktaani x edustaa kulmaa, jonka tangentti on x. Toisin sanoen, jos y = arctan(x), niin tan(y) = x.

Funktion derivaatta löytyy ketjusäännön avulla. Jos sinulla on yhdistelmäfunktio, kuten arctan(x), erotat ulomman funktion sisäisen funktion suhteen ja kerrot sitten sisäisen funktion derivaatalla.

Arctan x Formulan johdannainen

Tan x:n käänteisen derivaatan kaava saadaan seuraavasti:

d/dx(arktaani(x)) = 1/(1+x ² )

Tarkista myös :

• Arctan – kaava, kuvaaja, identiteetit, toimialue, alue ja usein kysytyt kysymykset
• Laskeminen matematiikassa
• Käänteinen Trigonometrinen funktio

Todiste Arctan x:n johdannaisesta

Tan x:n käänteisjohdannainen voidaan todistaa seuraavilla tavoilla:

• Käyttämällä Ketjun sääntö
• Käyttämällä Implisiittinen erottelumenetelmä
• Johdannaisten ensimmäisten periaatteiden käyttäminen

Arctan x:n johdannainen ketjusäännön mukaan

Todistaaksemme Arctan x:n derivaatan ketjusäännöllä, käytämme trigonometristä peruskaavaa ja käänteistä trigonometrista kaavaa:

• sek²y = 1 + rusketus²ja
• tan(arktaani x) = x

Tässä on todiste arctan x:n johdannaisesta:

Oletetaan, että y = arctan(x)

Ottamalla rusketuksen molemmilta puolilta saamme:

tan y = tan(arktaani x)

tan y = x [kuten tan (arctan x) = x]

Erota nyt molemmat puolet x:n suhteen

d/dx (ruskea y) = d/dx(x)

d/dx(ruskea y) = 1 [kuten d/dx(x) = 1]

Soveltamalla ketjusääntöä erottamaan tan y x:n suhteen saadaan

d/dx(tan y) = sek²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/s²ja

dy/dx = 1/1 + rusketus²y [sekunnissa²y = 1 + rusketus²ja]

Nyt tiedämme tan y = x, korvaamalla saamamme arvon yllä olevassa yhtälössä

dy/dx = 1/1 + x²

Arctan x:n johdannainen implisiittisellä differentiointimenetelmällä

Arktaanin johdannainen x voidaan todistaa käyttämällä implisiittistä differentiaatiomenetelmää. Käytämme trigonometrisiä peruskaavoja, jotka on lueteltu alla:

• sek²x = ( 1 + rusketus²x )

• Jos y = arctan x ⇒ x = vaaleanruskea y ja x²= niin²ja

Aloitetaan arktaanin johdannaisen todistaminen x , oletetaan f(x) = y = arctan x

Implisiittisellä eriyttämismenetelmällä

f(x) = y = arctaani x

⇒ x = ruskea y

Otetaan derivaatta molemmilta puolilta x:n suhteen

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Oikean puolen kertominen ja jakaminen dy:llä

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = s²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+rusketus²y) [Kuten sek²x = ( 1 + rusketus²x )]

c rakenne rakenteessa

⇒ dy/dx = 1/( 1+rusketus²ja )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Siksi f'(x) = 1/ (1+x²)

Arctan x:n johdannainen ensimmäisen periaatteen mukaan

Todistaaksemme arctan x:n derivaatan käyttämällä ensimmäistä johdannaisen periaatetta, käytämme perusrajoja ja trigonometrisiä kaavoja, jotka on lueteltu alla:

• lim_h→0arctan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Aloitetaan arktan x:n derivaatan todistaminen

meillä on arctan(x) = y

Käytä saamaamme johdannaisen määritelmää

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Tarkista myös

• Käänteisten trigonometristen funktioiden johdannainen
• Erilaistumiskaavat
• Käänteiset trigonometriset identiteetit

Esimerkkejä Arctan x:n johdannaisista

Esimerkki 1: Etsi funktion derivaatta f(x) = arctan(3x).

Ratkaisu:

Käytämme ketjusääntöä, joka sanoo, että jos g(x) on differentioituva kohdassa x ja f(x) = arctan (g(x)), niin derivaatta f'(x) saadaan seuraavasti:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

Tässä tapauksessa g(x) = 3x, joten g'(X) = 3. Ketjusäännön kaavan soveltaminen:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Esimerkki 2: Etsi funktion derivaatta h(x) = tan ^-1 (x/2)

Ratkaisu:

Käytämme ketjusääntöä, jonka mukaan f(x) = tan^-1(g(x)), niin derivaatta f'(x) saadaan seuraavasti:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

Tässä tapauksessa g(x) = x/2, joten g'(X) = 1/2. Ketjusäännön kaavan soveltaminen:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Yksinkertaistaen saamme,

f'(x) = 2/(4+x²)

Esimerkki 3: Etsi derivaatta f(x) = arctan (2x ² )

Ratkaisu:

Käytämme ketjusääntöä, joka sanoo, että jos g(x) on differentioituva kohdassa x ja f(x) = arctan (g(x)), niin derivaatta f'(x) saadaan seuraavasti:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

Tässä tapauksessa g(x) = 2x², joten g'(X) = 4x.

Ketjusäännön kaavan soveltaminen:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arktaani (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Käytännön kysymyksiä Arctan x:n johdannaisista

K.1: Etsi funktion f(x) = x derivaatta ² arkaan (2x)

K.2: Etsi funktion k(x) = arctan derivaatta (x ³ +2x)

K.3: Etsi funktion p(x) = x arctan(x) derivaatta ² +1)

K.4: Etsi funktion derivaatta f(x) = arctan (x)/1+x

K.5: Etsi funktion derivaatta r(x) = arctan (4x)

Lue lisää,

• Johdannainen matematiikassa
• Tan käänteisen x:n johdannainen
• Arctan

Arctan x:n johdannainen – UKK

Mikä on johdannainen matematiikassa?

Matematiikassa derivaatat mittaavat, miten funktio muuttuu sen syötteen (riippumattoman muuttujan) muuttuessa. F(x) funktion derivaatta merkitään f'(x) tai (d /dx)[f(x)].

Mikä on rusketuksen johdannainen ^-1 (x)?

Johdannainen rusketus^-1(x) x:n suhteen on 1/1+x²

Mikä on tan x:n käänteis?

Arctan on tan-funktion käänteisfunktio ja se on yksi käänteisistä trigonometrisista funktioista. Se tunnetaan myös nimellä arctan-funktio.

Mikä on ketjusääntö Arctanissa (x)?

Ketjusääntö on erotussääntö. Arctanille (u), ketjusääntö sanoo, että jos f(x) = arctan(u), niin f'(x) = (1/1+u)²)× du/dx. Kun tätä sovelletaan arctan(x), jossa u=x, saadaan 1/1+x²

Mikä on johdannainen f(x) = x tan ^-1 (x)?

Johdannainen f(x) = xtan^-1(x) löytyy tuotesäännön avulla. Tulos on niin ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

kasa lajitella

Mikä on Arctan x:n antijohdannainen?

Arctan x:n antijohdannainen saadaan kaavalla ∫tan^-1x dx = x rusketus^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Mikä on johdannainen?

Toiminnon derivaatta määritellään funktion muutosnopeudeksi riippumattoman muuttujan suhteen.