Johdannaiskaavat Calculusissa ovat yksi tärkeimmistä laskennan työkaluista, koska johdannaiskaavoja käytetään laajalti eri funktioiden johdannaisten löytämiseen helposti ja myös auttamaan meitä tutkimaan matematiikan, tekniikan jne.

Tämä artikkeli tutkii kaikkia johdannaiskaavat sisältää tiiviisti yleisen johdannaiskaavan, johdannaiskaavat logaritmisille ja eksponentiaalisille funktioille, johdannaiskaavoja trigonometrisille suhteille, johdannaiskaavoja käänteisille trigonometrisille suhteille ja johdannaiskaavoja hyperbolisille funktioille. Johdannainen kaava on tärkeä luokan 12 opiskelijoille heidän hallituskokeissaan. Ratkaisemme myös joitain esimerkkejä johdannaisista käyttämällä erilaisia ​​johdannaiskaavoja. Käydään tarkasti läpi johdannaiskaavan aihe.

Sisällysluettelo

• Mikä on johdannainen?
• Mitä johdannaiskaavat ovat?
• Perusjohdannaiskaavat – Johdannaissäännöt laskennassa
• Luettelo johdannaiskaavoista
• Jotkut muut johdannaiskaavat
• Kuinka löytää johdannaiset?
• Johdannaiskaavan sovellukset

Mikä on johdannainen?

The johdannaisia edustavat funktion nopeutta minkä tahansa muuttujan suhteen. Funktion f(x) derivaatta merkitään f'(x) tai (d/dx) [f(x)]. Johdannaisten löytämisprosessia kutsutaan differentiaatioksi.

Perustavanlaatuisin johdannaiskaava on johdannaisen määritelmä, joka määritellään seuraavasti:

f'(x) = raja _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

On olemassa erilaisia ​​johdannaiskaavoja, mukaan lukien yleiset johdannaiskaavat, johdannaiskaavat trigonometrisille funktioille ja johdannaiskaavat käänteisille trigonometrisille funktioille jne.

Lue tarkemmin: Laskeminen matematiikassa

Mitä johdannaiskaavat ovat?

Johdannaiskoavat ovat niitä matemaattisia lausekkeita, jotka auttavat meitä laskemaan jonkin tietyn funktion derivaatan suhteessa sen riippumattomaan muuttujaan. Yksinkertaisesti sanottuna kaavoja, jotka auttavat löytämään johdannaisia, kutsutaan johdannaiskaavoiksi. Eri funktioille on useita johdannaiskaavoja.

concat merkkijonot java

Esimerkkejä johdannaiskaavasta

Joitakin esimerkkejä johdannaisten kaavoista on lueteltu seuraavasti:

• Tehosääntö: Jos f(x) = xⁿ, jossa n on vakio, niin derivaatta saadaan seuraavasti:

f'(x) = nx ^n-1

• Jatkuva sääntö: Jos f(x) = c, missä c on vakio, niin derivaatta on nolla:

f'(x) = 0

• Eksponentiaaliset funktiot: Jos f(x) = e^x, sitten:

f'(x) = e ^x

Keskustellaan kaikista johdannaiseen liittyvistä kaavoista jäsennellysti.

Perusjohdannaiskaavat – Johdannaissäännöt laskennassa

Jotkut yksinkertaisimmista kaavoista johdannaisen löytämiseksi ovat:

• Jatkuva sääntö
• Voiman sääntö
• Summaerosääntö
• Tuotesääntö
• Osamäärä sääntö
• Ketjun sääntö

Keskustellaan näistä säännöistä yksityiskohtaisesti:

Jatkuva johdannaissääntö

Johdannaisten vakiosääntö saadaan seuraavasti:

(d/dx) vakio = 0

Johdannaisten tehosääntö

Johdannaisten tehosääntö saadaan seuraavasti:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Johdannaisten summan erotussääntö

Johdannaisten summa- ja erotussääntö saadaan seuraavasti:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Johdannaisten tuotesääntö

Johdannaisten tuotesäännön antaa:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Johdannaisten osamääräsääntö

Johdannaisten osamääräsääntö saadaan seuraavasti:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Johdannaisten ketjusääntö

Johdannaisen ketjusääntö antaa:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Luettelo johdannaiskaavoista

Alla on lueteltu eri funktioiden johdannaiskaavat:

Eksponentiaaliset ja logaritmiset johdannaiskaavat

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaiskaavat on lueteltu alla:

• (d/dx) e^x= ja^x
• (d/dx) a^x= a^xin a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) loki_ax= (1/x lna)

Lue lisää,

• Logaritmit
• Eksponentiaalisten funktioiden johdannainen

Trigonometriset johdannaiskaavat

Alla on lueteltu trigonometristen funktioiden johdannaiskaavat:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) pinnasänky x = -kosek²x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x pinnasänky x

Lisätietoja: Trigonometristen funktioiden johdannainen .

Johdannaiskaava käänteisille trigonometrisille funktioille

Käänteisten trigonometristen funktioiden johdannaiskaavat on lueteltu alla:

• (d/dx) ilman^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) niin^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) pinnasänky^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²-1)]
• (d/dx) kosek^-1x = -1/[|x|√(x²-1)]

Lue lisää, Käänteisten laukaisufunktioiden johdannainen .

Hyperbolisten funktioiden johdannainen

Alla on lueteltu trigonometristen funktioiden johdannaiskaavat:

font gimp

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = itse²x
• (d/dx) coth x = -cosech²x
• (d/dx) itse x = -itse x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Jotkut muut johdannaiskaavat

On olemassa joitain muita toimintoja, kuten implisiittisiä funktioita, parametrisia funktioita ja korkeamman asteen johdannaisia, joiden johdannaiskaavat on lueteltu alla:

Implisiittinen johdannaiskaava

Implisiittisen funktion derivaatan löytämistä kutsutaan implisiittiseksi differentiaatioksi. Otetaan esimerkki ymmärtääksemme menetelmää löytää johdannaisia ​​implisiittisesti.

Esimerkki: Etsi derivaatta xy = 2

Ratkaisu:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Annetusta yhtälöstä y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Lisätietoja: Implisiittinen eriyttäminen .

Parametrinen johdannaiskaava

Jos funktio y(x) ilmaistaan ​​kolmannen muuttujan t ja x ehdoin ja y voidaan esittää x = f(t) ja y = g(t), niin tämän tyyppistä funktiota kutsutaan parametrifunktioksi.

Jos y on x:n funktio ja x = f(t) ja y = g(t) ovat kaksi parametrin t differentioituvaa funktiota, parametrisen funktion derivaatta saadaan seuraavasti:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), niin että (dx/dt) ≠ 0

Lue lisää aiheesta Parametrinen erottelu .

Korkeamman asteen johdannaiskaava

Funktion derivaatan löytäminen useamman kuin kerran antaa funktion korkeamman kertaluvun derivaatan.

n ^th Johdannainen = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Lue lisää aiheesta Korkeamman asteen johdannainen .

Kuinka löytää johdannaiset?

Löytääksesi funktion johdannaiset, noudatamme seuraavia vaiheita:

• Tarkista ensin funktion tyyppi, onko se algebrallinen, trigonometrinen jne.
• Kun olet löytänyt tyypin, käytä vastaavat johdannaiskaavat funktioon.
• Tuloksena oleva arvo antaa funktion derivaatan derivaattakaavaa käyttäen.

Johdannaiskaavan sovellukset

Johdannaiskoavoille on monia sovelluksia. Jotkut näistä sovelluksista on lueteltu alla:

• Johdannaisia ​​käytetään minkä tahansa määrän muutosnopeuden löytämiseen.
• Sitä voidaan käyttää maksimien ja minimien etsimiseen.
• Sitä käytetään kasvavissa ja pienentävissä toiminnoissa.

Ihmiset katsovat myös:

• Erilaistumiskaavat
• Erilaistumis- ja integraatiokaava
• Logaritminen differentiaatio

Ratkaistu esimerkkejä johdannaiskaavasta

Esimerkki 1: Etsi x:n derivaatta ⁵ .

Ratkaisu:

Olkoon y = x⁵

⇒ y' = (d/dx) [x⁵]

⇒ y' = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Esimerkki 2: Etsi log:n derivaatta ₂ x.

Ratkaisu:

Olkoon y = log₂x

täyte css

⇒ y' = (d/dx) [log₂x]

⇒ y' = 1/ [x ln2]

Esimerkki 3: Etsi funktion f(x) = 8 derivaatta. 6 ^x

Ratkaisu:

f(x) = 8. 6^x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^x]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Esimerkki 4: Etsi funktion f(x) = 3sinx + 2x derivaatta

Ratkaisu:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Esimerkki 5: Etsi funktion f(x) = 5cos derivaatta ^-1 x + e ^x

Ratkaisu:

f(x) = 5cos^-1x + e^x

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 - x²)] + ja^x

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + ja^x

Harjoittele ongelmia johdannaiskaavassa

Ongelma 1: Arvioi: (d/dx) [x⁴].

Ongelma 2: Etsi derivaatta y = 5cos x.

Ongelma 3: Etsi derivaatta y:stä = cosec x + cot x.

Ongelma 4: Etsi derivaatta f(x) = 4^x+ loki₃x + niin^-1x.

Ongelma 5: Arvioi: (d/dx) [40].

Ongelma 6: Etsi derivaatta f(x) = x⁵+ 5x³+ 1.

Usein kysytyt kysymykset johdannaiskaavasta

Mikä on johdannainen?

Arvoa, joka edustaa funktion muutosnopeutta minkä tahansa muuttujan suhteen, kutsutaan derivaatiksi.

Miten johdannaiset esitetään?

Derivaatat esitetään muodossa (d/dx) tai jos f(x) on funktio, niin f(x):n derivaatta esitetään muodossa f'(x).

Miten vakion johdannainen lasketaan?

Vakion derivaatta on aina nolla. Matemaattisessa merkinnässä, jos 'C' on vakio, niin dC/dx = 0.

Kirjoita x:n yleinen johdannaiskaavaⁿ.

Yleinen kaava x:n derivaatalleⁿ= nx^n-1.

Kuinka laskea funktion johdannaiset?

Laskeaksemme funktion derivaatat voidaan soveltaa derivaattakaavaa annetun funktion mukaan.

Mikä on logaritmisen funktion derivaatan kaava?

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta ln(x) on 1/x. Matemaattisessa merkinnässä, jos y = ln(x), niin dy/dx = 1/x.

Mitä kaavaa käytetään eksponentiaalisten funktioiden johdannaisen löytämiseen?

Eksponentiaalisen funktion derivaatta, y = a^x(jossa 'a' on vakio), löytyy kaavalla dy/dx = a^x× ln(a).

Mitä ovat korkeamman asteen johdannaiset?

Korkeamman asteen derivaatat ovat funktion johdannaisia, jotka on otettu useammin kuin kerran. Toinen derivaatta on ensimmäisen derivaatta, kolmas on toisen derivaatta ja niin edelleen.

Mikä on johdannaiskaava e^x?

F(x) = e funktion derivaatta^x(jossa e on Eulerin luku, noin 2,71828) on yksinkertaisesti f'(x) = e^x.

Kirjoita johdannaiskaava u/v:lle.

Kahden funktion u(x) ja v(x) osamäärän derivaatta saadaan osamääräsäännöllä:

postinkantaja

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Mikä on johdannaiskaava 1/x:lle?

Funktion f(x) = 1/x derivaatta saadaan seuraavasti:

f'(x) = -1/x ²