Predikaattilogiikka käsittelee predikaatteja, jotka ovat lauseita, jotka koostuvat muuttujista.

Predikaattilogiikka - määritelmä

Predikaatti on yhden tai useamman muuttujan ilmaisu, joka on määritetty tietyllä alueella. Muuttujia sisältävä predikaatti voidaan tehdä ehdotukseksi joko sallimalla muuttujalle arvo tai kvantifioimalla muuttuja.

e-r mallikaavio

• Harkitse E(x, y) merkitse 'x = y'
• Oletetaan, että X(a, b, c) tarkoittaa 'a + b + c = 0'
• Tarkastellaan, että M(x, y) tarkoittaa 'x on naimisissa y:n kanssa'.

Kvantifioija:

Predikaattien muuttuja kvantifioidaan kvantaattoreiden avulla. Predikaattilogiikassa on kahta tyyppiä kvantisoijia - eksistentiaalinen kvantori ja universaali kvantori.

Eksistentiaalinen kvantori:

Jos p(x) on lause universumista U. Silloin sitä merkitään ∃x p(x) ja luetaan seuraavasti: 'Maailmankaikkeudessa on ainakin yksi muuttujan x arvo siten, että p(x) on tosi. Kvantifioijaa ∃ kutsutaan eksistentiaaliseksi kvantoriksi.

On olemassa useita tapoja kirjoittaa ehdotus eksistentiaalisella kvantorilla, esim.

(∃x∈A)p(x) tai ∃x∈A siten, että p (x) tai (∃x)p(x) tai p(x) on tosi jollekin x ∈A:lle.

diskreetti matemaattinen negaatio

Universaali kvantori:

Jos p(x) on universumin U väite. Silloin sitä merkitään ∀x,p(x) ja luetaan 'Jokaisella x∈U:lla, p(x) on tosi.' Kvantifioijaa ∀ kutsutaan yleiseksi kvantoriksi.

On olemassa useita tapoja kirjoittaa ehdotus yleisellä kvantorilla.

∀x∈A,p(x) tai p(x), ∀x ∈A tai ∀x,p(x) tai p(x) on tosi kaikille x ∈A.

Kvantifioitujen ehdotusten kieltäminen:

Kun kumoamme kvantifioidun lauseen, eli kun universaalisti kvantifioitu ehdotus kielletään, saamme eksistentiaalisesti kvantifioidun lauseen, ja kun eksistentiaalisesti kvantifioitu väite kumotaan, saamme universaalisti kvantifioidun lauseen.

Kaksi sääntöä kvantifioidun lauseen negaatiolle ovat seuraavat. Näitä kutsutaan myös DeMorganin laiksi.

Esimerkki: Kieltäydy jokainen seuraavista ehdotuksista:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Aurinko: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

valinta lajittele java

Aurinko: ~( ∃ x ∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Aurinko: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Ehdotukset, joissa on useita kvantisoijia:

Ehdotus, jossa on useampi kuin yksi muuttuja, voidaan kvantifioida useilla kvantifioijilla. Useat universaalit kvantorit voidaan järjestää mihin tahansa järjestykseen muuttamatta tuloksena olevan lauseen merkitystä. Myös useat eksistentiaaliset kvantorit voidaan järjestää mihin tahansa järjestykseen muuttamatta proposition merkitystä.

Lause, joka sisältää sekä universaaleja että eksistentiaalisia kvantisoijia, näiden kvantorien järjestystä ei voida vaihtaa muuttamatta proposition tarkoitusta, esim. lause ∃x ∀ y p(x,y) tarkoittaa 'On olemassa jokin x, jolla p (x, y) on totta jokaiselle y:lle.'

Esimerkki: Kirjoita negatiivinen lause jokaiselle seuraavista. Selvitä, onko tuloksena oleva väite tosi vai epätosi. Oletetaan, että U = R.

tiikerin ja leijonan ero

1.∀ x ∃ m(x²

Aurinko: Arvon ∀ x ∃ m(x²2≧m). ∃ x ∀ m (x²≧m) on, että jollekin x:lle on olemassa sellainen, että x²≧m jokaista m kohti. Väite on totta, koska on olemassa suurempi x, joka on sellainen, että x²≧m jokaista m kohti.

2. ∃ m∀ x(x²

Aurinko: Arvon ∃ m ∀ x (x²2≧m). ∀ m∃x (x²≧m) on, että jokaiselle m:lle on olemassa sellainen x, että x²≧ m. Väite on totta, koska jokaiselle m:lle on olemassa jollekin suuremmalle x:lle sellainen, että x²≧ m.