Todennäköisyyskaavat ovat tärkeitä matemaattisia työkaluja, joita käytetään todennäköisyyden laskennassa. Ennen kuin tiedämme todennäköisyyskaavat, meidän on ymmärrettävä todennäköisyyden käsite lyhyesti. Mahdollisuus sattumanvaraiseen tapahtumaan määritellään todennäköisyydellä. Todennäköisyys on ennustuksen mahdollisuus. Sen sovellukset ulottuvat useille eri aloille, mukaan lukien pelistrategiat, todennäköisyyksiin perustuvien ennusteiden luominen liiketoiminnassa ja kehittyvä tekoäly.
Tässä artikkelissa opimme todennäköisyyskaavan merkityksen ja määritelmän sekä kuinka näitä kaavoja käytetään todennäköisyyden laskennassa. Näemme myös erilaisia todennäköisyyteen liittyviä termejä ja erilaisia kaavoja matemaattisten ongelmien helpottamiseksi.
Sisällysluettelo
- Mikä on todennäköisyyskaava?
- Todennäköisyyskaavaan liittyvät ehdot
- Tapahtumat todennäköisyyskaavassa
- Erilaisia todennäköisyyskaavoja
- Esimerkkejä todennäköisyyskaavasta
Mikä on todennäköisyyskaava?
Todennäköisyyskaavoja käytetään tapahtuman mahdollisuuksien määrittämiseen jakamalla myönteisten tulosten määrä mahdollisilla lopputuloksilla. Käyttämällä tätä kaavaa voimme arvioida tiettyyn tapahtumaan liittyvän todennäköisyyden.
Matemaattisesti voimme kirjoittaa tämän kaavan seuraavasti:
P(A) = myönteisten tulosten lukumäärä / mahdollisten tulosten kokonaismäärä
Todennäköisyyskaava laskee myönteisten tulosten suhteen koko mahdollisten tulosten joukkoon. Todennäköisyysarvo on välillä 0-1, mikä tarkoittaa, että suotuisat tulokset eivät voi ylittää kokonaistuloksia, ja suotuisten tulosten negatiivinen arvo ei ole mahdollinen.
Oppia,
- Todennäköisyys matematiikassa
- Todennäköisyysteoria
Kuinka laskea todennäköisyys?
Tapahtuman todennäköisyys = (suotuisten tulosten määrä) / (tapahtuman mahdollisten tulosten kokonaismäärä)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Tässä P(A) merkitsee tapahtuman A todennäköisyyttä, missä n(E) on suotuisten tulosten määrä ja n(S) on tapahtuman mahdollisten tulosten kokonaismäärä.
Kun tarkastellaan täydentävää tapahtumaa, jota edustaa P(A'), joka ilmaisee tapahtuman A esiintymättömyyttä. kaava on seuraava:
P(A') = 1 - P(A)
P(A'), on vastakohta tapahtumalle A, mikä osoittaa, että joko tapahtuma P(A) tai sen komplementti P(A') tapahtuu.
Siksi nyt voimme sanoa; P(A) + P(A') = 1
Oppia,
- Tapahtumat todennäköisyydellä
- Todennäköisyystapahtumien tyypit
Todennäköisyyskaavaan liittyvät ehdot
Jotkut yleisimmistä todennäköisyyskaavaan liittyvistä termeistä ovat:
- Koe: Kokeilu on toimenpide tai toimenpide, joka suoritetaan tietyn tuloksen luomiseksi.
- Esimerkkitila: Näytetila sisältää kaikki mahdolliset kokeen tulokset. Esimerkiksi kolikkoa heitettäessä näytetilaan kuuluu {head, tail}.
- Myönteinen lopputulos: Myönteinen tulos on tulos, joka on linjassa aiotun tai odotetun päätelmän kanssa. Kun heitetään kahta noppaa, esimerkkejä suotuisista tuloksista, joiden summa on 4, ovat (1,3), (2,2) ja (3,1).
- Kokeilu: Kokeilu tarkoittaa satunnaisen kokeen suorittamista.
- Satunnainen koe: A Satunnainen koe sille on ominaista hyvin määritelty joukko mahdollisia tuloksia. Esimerkki satunnaisesta kokeesta on kolikon heittäminen, jolloin tuloksena voi olla joko päätä tai häntää. Tämä tarkoittaa, että tulos olisi epävarma.
- Tapahtuma: Tapahtuma tarkoittaa, että kokonaistulokset tulevat satunnaisesta kokeesta.
- Yhtä todennäköisiä tapahtumia: Yhtä todennäköisillä tapahtumilla tarkoitetaan tapahtumia, joiden toteutumistodennäköisyys on sama. Yhden tapahtuman lopputulos ei vaikuta toisen lopputulokseen.
- Kattavat tapahtumat: Exhaustive Event -tapahtuma syntyy, kun kaikkien mahdollisten tulosten joukko kattaa koko näytetilan.
- Toisiaan poissulkevat tapahtumat: Toisiaan eksklusiiviset tapahtumat ovat sellaisia, jotka eivät voi tapahtua samanaikaisesti. Esimerkiksi kun heitämme kolikon, tuloksena on joko pää tai häntä, mutta emme voi saada molempia yhtä aikaa.
Tapahtumat todennäköisyyskaavassa
Todennäköisyysteoriassa tapahtuma edustaa joukkoa kokeesta johdettuja mahdollisia tuloksia. Se muodostaa usein osajoukon koko näyteavaruudesta. Jos esitämme tapahtuman E todennäköisyyden P(E), pätevät seuraavat periaatteet:
Kun tapahtuma E on mahdoton, niin P(E) = 0.
Kun tapahtuma E on varma, niin P(E) = 1.
Todennäköisyys P(E) on välillä 0 ja 1.
Tarkastellaan kahta tapahtumaa, A ja B. Tapahtuman A todennäköisyys, jota merkitään P(A), joka on suurempi kuin tapahtuman B todennäköisyys, P(B).
Tietylle tapahtumalle E todennäköisyyskaava on:
P(E) = n(E)/ n(S)
Tässä n(E) edustaa tapahtumalle E suotuisten tulosten määrää.
n(S) tarkoittaa tulosten kokonaismäärää näyteavaruudessa.
Erilaisia todennäköisyyskaavoja
Eri todennäköisyyskaavoja käsitellään alla:
Klassinen todennäköisyyskaava
P(A) = suotuisten tulosten lukumäärä / mahdollisten tulosten kokonaismäärä
Lisäyssäännön kaava
Kun käsittelemme tapahtumaa, joka on kahden erillisen tapahtuman, esimerkiksi A ja B, liitto, liiton todennäköisyys on:
P(A tai B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Yhteinen todennäköisyyskaava
Se edustaa yhteisiä elementtejä, jotka muodostavat sekä tapahtumien A että B erilliset osajoukot. Kaava voidaan ilmaista seuraavasti:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Lisäyssääntö toisiaan poissulkeville tapahtumille
Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia, se tarkoittaa, että ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti, kumman tahansa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden vastaavien todennäköisyyksien summa.
P(A tai B)=P(A)+P(B)
Täydentävä sääntökaava
Jos A on tapahtuma, ei A:n todennäköisyys ilmaistaan täydentävällä säännöllä:
P(ei A) = 1 – P(A) tai P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A') = 1.
Jotkut niihin perustuvat todennäköisyyskaavat ovat seuraavat:
P(A.A') = 0
P(A.B) + P (A'.B') = 1
P(A’B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B’) = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB') + P(A'B) + P(A.B)
Ehdollinen sääntökaava
Siinä tapauksessa, että tapahtuman A esiintyminen on jo tiedossa, tapahtuman B todennäköisyys tulee tapahtumaan, jota kutsutaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi. Se voidaan laskea kaavalla:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Tapahtuman B todennäköisyys (ehdollinen), kun tapahtuma A on tapahtunut.
P (A/B): Tapahtuman A todennäköisyys (ehdollinen), kun tapahtuma B on tapahtunut.
Suhteellisen taajuuden kaava
Suhteellisen taajuuden kaava perustuu reaalimaailman tiedoissa havaittuihin taajuuksiin. Tämä kaava on annettu muodossa
P(A) = Tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä / Kokeiden tai havaintojen kokonaismäärä
Todennäköisyyskaava kertolaskusäännöllä
Tilanteissa, joissa tapahtuma edustaa kahden muun tapahtuman samanaikaista esiintymistä, joita merkitään tapahtumilla A ja B, molempien tapahtumien samanaikaisesti tapahtuvan todennäköisyydet voidaan laskea käyttämällä näitä kaavoja:
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (itsenäisten tapahtumien tapauksessa)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (riippuvien tapahtumien tapauksessa)
Erillinen tapahtuma
Epäyhtenäiset tapahtumat ovat tapahtumia, jotka eivät koskaan tapahdu samaan aikaan. Näitä kutsutaan myös toisensa poissulkeviksi tapahtumiksi.
P(A∩B) = 0
Bayesin lause
Bayesin lause laskee tapahtuman A todennäköisyyden tapahtuman B tapahtuessa. Bayen lauseen kaava on annettu
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Oppia, Bayesin lause
Riippuvainen todennäköisyyskaava
Riippuvainen todennäköisyys ovat tapahtumia, joihin muiden tapahtumien esiintyminen vaikuttaa. Riippuvan todennäköisyyden kaava on,
P(B ja A) = P(A) × P(B | A)
Itsenäinen todennäköisyyskaava
Itsenäinen todennäköisyys on tapahtumia, joihin muiden tapahtumien esiintyminen ei vaikuta. Riippumattoman todennäköisyyden kaava on,
P(A ja B) = P(A) × P(B)
Binominaalinen todennäköisyyskaava
Binomiaalinen todennäköisyyskaava on annettu muodossa
P(x) = n C x · s x (1 − p) n-x tai P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p r (1 − p) n−r
Missä n = tapahtumien kokonaismäärä
r tai x = onnistuneiden tapahtumien kokonaismäärä.
p = Onnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa.
nCr= [n!/r!(n−r)]!
1 – p = epäonnistumisen todennäköisyys.
Oppia, Binomiaalinen jakauma
Normaali todennäköisyyskaava
Normaali todennäköisyyskaava saadaan kaavalla:
P(x) = (1/√2П) e (-x^2/2)
Oppia, Normaalijakauma
Kokeellinen todennäköisyyskaava
Kokeellisen todennäköisyyden kaava on;
Todennäköisyys P(x) = Tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärä / Kokeiden kokonaismäärä.
Teoreettinen todennäköisyyskaava
Teoreettinen todennäköisyyskaava on,
P(x) = Myönteisten tulosten määrä / Mahdollisten tulosten lukumäärä.
Keskihajonnan todennäköisyyskaava
Standardipoikkeaman todennäköisyyden kaava on annettu muodossa
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}
Bernoullin todennäköisyyskaava
Satunnaismuuttujalla X on Bernoulli-jakauma todennäköisyydellä p, kaava on,
P(X = x) = p x (1 – p) 1-x , jos x = 0, 1 ja P(X = x) = 0 muille x:n arvoille
Tässä 0 on epäonnistuminen ja 1 on menestys.
Oppia, Bernoullin jakelu
Todennäköisyyskaavaluokka 10
Luokassa 10 meidän on tutkittava perustodennäköisyyttä, kuten todennäköisyys heittää kolikon, heittää 2 kolikkoa, heittää 3 kolikkoa, heittää noppaa, heittää kaksi noppaa, todennäköisyys nostaa kortti hyvin sekoitetusta pakasta. Kaikki nämä kysymykset voidaan ratkaista vain yhdellä kaavalla. Todennäköisyyskaavaluokka 10 on annettu muodossa
P(E) = n(E)/n(s)
Missä,
P(E) on tapahtuman todennäköisyys
n(E) on kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma tapahtui
n(S) on näyteavaruuden lukumäärä
Luokan 12 todennäköisyyskaava
Todennäköisyysluokassa 12 käytetyt erilaiset kaavat on taulukoitu alla:
Erilaisia todennäköisyyskaavoja | |
|---|---|
Kaavan nimi | Kaava |
Kokeellinen tai empiirinen todennäköisyyskaava | Tapahtuman esiintymiskertojen määrä / Kokeiden kokonaismäärä. |
Klassinen tai teoreettinen todennäköisyyskaava | Suotuisten tulosten lukumäärä / mahdollisten tulosten kokonaismäärä |
Lisäystodennäköisyyskaava | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) |
Yhteinen todennäköisyyskaava | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
Lisäyssääntö toisiaan poissulkeville tapahtumille | P(A tai B)=P(A)+P(B) |
Täydentävä sääntökaava | P(ei A) = 1 – P(A) tai P(A’) = 1 – P(A). P(A) + P(A') = 1 |
Ehdollinen sääntökaava | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) |
Suhteellisen taajuuden kaava | P(A) = Tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä / Kokeiden tai havaintojen kokonaismäärä |
Erillinen tapahtuma | P(A∩B) = 0 |
Bayesin lause | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B) npm asennuskomento |
Riippuvainen todennäköisyyskaava | P(B ja A) = P(A) × P(B | A) |
Itsenäinen todennäköisyyskaava | P(A ja B) = P(A) × P(B) |
Binominaalinen todennäköisyyskaava | P(x) =nCx· sx(1 − p)n-xtai P(r) = [n!/r!(n−r)!]· pr(1 − p)n−r |
Normaali todennäköisyyskaava | P(x) = (1/√2П) e(-x2/2) |
Keskihajonnan todennäköisyyskaava | P(x) = (1/σ√2П) e-(x-m)^2/2s^2 |
Bernoullin todennäköisyyskaava | P(X = x) = px(1 – p)1-x, jos x = 0, 1 ja P(X = x) = 0 muille x:n arvoille. |
Myös Tarkista
- Kolikonheiton todennäköisyys
- Kortin todennäköisyys
- Tilastokaavat
Esimerkkejä todennäköisyyskaavasta
Esimerkki 1: Valitse kortti satunnaisesti vakiopakalta. Millä todennäköisyydellä piirretään kortti, jolla on naiselliset kasvot?
Ratkaisu:
52 korttia sisältävässä vakiopakassa: Mahdolliset lopputulokset yhteensä = 52
Myönteisten tapahtumien määrä (jota ajatellen vain kuningattaret naisellisina kasvoina) = 4
Siksi todennäköisyys P(A) lasketaan kaavalla:
P(A) = Suotuisten tulosten lukumäärä ÷ Tulosten kokonaismäärä
= 4/52
= 1/13.
Esimerkki 2: Jos tapahtuman E todennäköisyys, jota merkitään P(E) = 0,35, mikä on komplementtitapahtuman 'ei E' todennäköisyys?
Ratkaisu:
Koska P(E)=0,35, voimme käyttää täydentävää todennäköisyyskaavaa:
P(E) + P(ei E) = 1
Tunnetun arvon korvaaminen:
P(ei E) = 1 – P(E)
P(ei E) = 1 – 0,35
Näin ollen P(ei E) = 0,65
Esimerkki 3: Vaaralliset tulipalot ovat hyvin harvinaisia noin 1 %, mutta savua on melko yleistä noin 20 % grillien takia. Etsi vaarallinen tuli, kun 80 % vaarallisista tulipaloista tuottaa savua.
Ratkaisu:
Vaarallisen tulipalon todennäköisyys, kun savua on Bayesin lauseen avulla:
P(Tuli|Savu) = {P(Tuli)P(Tulipalo)}/P(Savu)
P(Fire)=0,01(1%) ja P(Smoke|Fire)= 0,80 (80%), voimme korvata nämä arvot:
P (Tuli | Savu) = ( 0,02 × 0,90) / 0,30
(Tulipalo | Savu) = 0,018/0,30
(Tulipalo | Savu) = 0,06 = 6 %.
Esimerkki 4: Pussissa on 2 vihreää sipulia, 4 oranssia sipulia ja 6 valkoista sipulia. Kun pussista valitaan satunnaisesti sipuli, millä todennäköisyydellä valitaan joko vihreä tai valkoinen sipuli?
Ratkaisu:
Laukun lamppujen kokonaismäärä on 2 vihreää + 4 oranssia + 6 valkoista = 12 lamppua
Vihreiden sipulien lukumäärä = 2 ja valkoisten sipulien lukumäärä = 6
Todennäköisyys = (vihreiden lamppujen määrä + valkoisten lamppujen lukumäärä) / sipulien kokonaismäärä
Todennäköisyys = (2+6)/12
Todennäköisyys = 8/12
Todennäköisyys = 2/3.
Harjoittele kysymyksiä todennäköisyyskaavasta
Q1. Pussissa olevasta marmorikokoelmasta – 8 punaista, 9 sinistä ja 6 vihreää – poimitaan satunnaisesti kaksi marmoria ilman vaihtamista. Mikä on todennäköisyys, että molemmat valitut marmorit ovat sinisiä?
Q2. Laatikossa, jossa on 6 mustaa kynää, 4 sinistä kynää ja 7 punaista kynää, piirretään satunnaisesti kynä. Millä todennäköisyydellä kynä on joko musta tai sininen?
Q3. Nosta yksi kortti huolellisesti sekoitetusta 52 kortin pakasta ja määritä todennäköisyys, että kortti:
- Ole kuningas.
- Älä ole kuningas.
Q4. Tutkimuksen mukaan 70 % ihmisistä nauttii suklaasta, ja suklaan ystävistä 60 % pitää myös vaniljasta. Mikä on todennäköisyys, että henkilö pitää vaniljasta, kun otetaan huomioon hänen rakkautensa suklaaseen?
Q5. Määritä parittoman luvun heittämisen todennäköisyys, kun kuusisivuista noppaa heitetään.
Todennäköisyyskaava – UKK
1. Mikä on todennäköisyyden merkitys?
Satunnaisen tapahtuman mahdollisuus määritellään todennäköisyydellä. Todennäköisyys on ennustuksen mahdollisuus.
2. Mikä on todennäköisyyskaavan merkitys?
Todennäköisyyskaavoja käytetään tapahtuman mahdollisuuksien määrittämiseen jakamalla myönteisten tulosten määrä mahdollisilla lopputuloksilla. Todennäköisyysarvo on välillä 0-1, mikä tarkoittaa, että suotuisat tulokset eivät voi ylittää kokonaistuloksia, ja suotuisten tulosten negatiivinen arvo ei ole mahdollinen.
3. Mikä on merkintä U ja ∩ keskiarvo todennäköisyydessä?
Symboli U todennäköisyydellä tarkoittaa tasaista jakautumista. Toisaalta symboli ∩ tarkoittaa joukkojen leikkauskohtaa. Yksinkertaisemmin sanottuna kahden joukon leikkauspiste on laajin joukko, joka sisältää kaikki kummankin joukon yhteiset elementit.
4. Mikä on tavanomainen kaava todennäköisyyden laskemiseen?
Tapahtuman todennäköisyys = (suotuisten tulosten määrä) / (tapahtuman mahdollisten tulosten kokonaismäärä)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Tässä P(A) tarkoittaa tapahtuman A todennäköisyyttä, jossa n(E) on suotuisten tulosten määrä ja n(S) on tapahtuman mahdollisten tulosten kokonaismäärä.
5. Mikä on täydentävä kaava?
Jos A on tapahtuma, ei A:n todennäköisyys ilmaistaan täydentävällä säännöllä:
P(ei A) = 1 – P(A) tai P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A') = 1.
6. Mikä on Disjoint Event?
Epäyhtenäiset tapahtumat ovat tapahtumia, jotka eivät koskaan tapahdu samaan aikaan. Näitä kutsutaan myös toisensa poissulkeviksi tapahtumiksi.
P(A∩B) = 0.
7. Mikä on Bayesin lause?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Bayesin lause laskee tapahtuman A todennäköisyyden, kun otetaan huomioon tapahtuma B.
8. Mikä on ehdollinen kaava?
Siinä tapauksessa, että tapahtuman A esiintyminen on jo tiedossa, tapahtuman B todennäköisyys tulee tapahtumaan, jota kutsutaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi. Se voidaan laskea kaavalla:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Tapahtuman B todennäköisyys (ehdollinen), kun tapahtuma A on tapahtunut.
P (A/B): Tapahtuman A todennäköisyys (ehdollinen), kun tapahtuma B on tapahtunut.
9. Mitkä ovat tosielämän esimerkkejä todennäköisyydestä?
Sääennustus, korttipelit, poliittinen äänestys, noppapelit ja kolikon heittäminen jne. ovat esimerkkejä todennäköisyydestä