Joukkosymbolit ovat yhteistermi, jota käytetään kaikista symboleista, joita käytetään joukkoteoriassa, joka on matematiikan haara, joka käsittelee esineiden kokoelmaa ja niiden erilaisia ominaisuuksia. Joukko on hyvin määritelty objektikokoelma, jossa jokaista kokoelman objektia kutsutaan elementiksi ja jokainen joukon elementti noudattaa tiettyä sääntöä. Yleensä englannin aakkosten isoja kirjaimia käytetään merkitsemään joukkoja ja jotkut kirjaimet merkitsevät tiettyjä joukkoja joukkoteoriassa.
Tämän matematiikan haaran tutkimisessa on käytetty monia symboleja, joitain yleisiä symboleja ovat {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø jne. Käsittelemme kaikkia näitä symboleja yksityiskohtaisesti artikkelissa. mukaan lukien myös näiden symbolien historia. Joten aloitetaan matkamme oppiaksemme erilaisista joukkoteoriassa käytetyistä joukkosymboleista.
Sisällysluettelo
- Mitä ovat joukkosymbolit?
- Sarjasymbolien historia
- Peruskäsitteet joukko symboleja
- Aseta symbolit matematiikassa
- Joukkoteorian symbolit
- Ratkaistut esimerkit joukkosymboleista
- Harjoittele Symbolien joukkokysymystä
- UKK
Mitä ovat joukkosymbolit?
Joukkosymbolit ovat matematiikan perusrakennuspalikoita, joita käytetään edustamaan ja kuvaamaan objektiryhmiä, numeroita tai kohteita, joilla on samanlaiset ominaisuudet. Nämä symbolit tarjoavat selkeän ja johdonmukaisen lähestymistavan vaikeiden ajatusten välittämiseen sarjoista ja niiden vuorovaikutuksesta. Tyypillisin joukkosymboli on ∈, joka tarkoittaa jäsenyyttä ja lausutaan kuuluvaksi. ∈ osoittaa, että elementti on osa tiettyä joukkoa.
Sitä vastoin ∉ tarkoittaa, että elementti ei ole osa joukkoa. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ jne. ovat joukko teorian yleisiä esimerkkejä symboleista. Nämä ja muut symbolit antavat matemaatikoille mahdollisuuden määritellä operaatioita, määritellä operaatioita ja muotoilla tarkkoja matemaattisia väitteitä, mikä luo pohjan useille matemaattisille erikoisaloille ja käytännön käytöille.
Lue lisää aiheesta Joukkoteoria .
Esimerkki symbolien asettamisesta
Käytetään kuvassa symbolia, joka tarkoittaa joukkojen leikkauskohtaa. Olkoot E ja F kaksi joukkoa siten, että joukko E = {1, 3, 5, 7} ja joukko F = {3, 6, 9}. Tällöin symboli ∩ edustaa molempien joukkojen leikkauskohtaa eli E ∩ F.
Tässä E ∩ F sisältää kaikki alkiot, jotka ovat yhteisiä molemmissa joukoissa E ja F, eli {3}.
Yhteenvetona voidaan todeta, että symbolia ∩ käytetään tunnistamaan elementit, jotka jaetaan kahdelle tai useammalle joukolle. Leikkaus tuottaa vain joukot, joissa on elementtejä, jotka jakavat kaikki leikattavat joukot.
Lisätietoja: Joukkojen risteys .
Sarjasymbolien historia
Vuosina 1874-1897 saksalainen matemaatikko soitti Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor kehitti abstraktin teorian nimeltä Set Theory. Hän ehdotti sitä tutkiessaan joitain tosiasiallisia huolenaiheita, jotka liittyvät reaalilukujen äärettömien joukkojen erityismuotoihin. Joukko on käsitteen mukaan tiettyjen määriteltyjen ja erillisten havaintoobjektien ryhmä. Kaikkia näitä asioita kutsutaan joukon jäseniksi tai komponenteiksi. Tosialgebrallisten lukuyhdistelmien ominaisuus on Cantorin teorian perusta.
Peruskäsitteet joukko symboleja
Joukkoteoriassa käsitellään erilaisia ajatuksia eri koulutustasoilla. Joukkoesitys, joukkotyypit, joukkooperaatiot (kuten liitto ja leikkaus), joukko kardinaliteetti ja suhteet ja niin edelleen ovat olennaisia käsitteitä. Jotkut joukkoteorian keskeisistä käsitteistä ovat seuraavat:
Universaali setti
Isoa U-kirjainta käytetään yleisesti edustamaan yleissarjaa. Sitä myös toisinaan symboloi ε (epsilon). Se on joukko, joka sisältää kaikki muiden joukkojen elementit sekä omansa.
Sarjan täydennys
Joukon komplementti sisältää kaikki yleisjoukon ainesosat paitsi tarkasteltavan joukon elementit. Jos A on joukko, sen komplementit sisältävät kaikki määritellyn yleisjoukon (U) jäsenet, jotka eivät sisälly A:han. Joukon komplementti on merkitty tai ilmaistaan A' tai Acja se määritellään seuraavasti:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Lue lisää aiheesta Sarjan täydennys .
Aseta Builder Notation
Set Builder -merkintätapa on tapa esittää joukkoja siten, että kun meidän ei tarvitse luetella kaikkia joukon elementtejä, meidän on vain määritettävä sääntö, jota kaikki joukon elementit noudattavat. Joitakin esimerkkejä näistä merkinnöistä ovat:
Jos A on kokoelma reaalilukuja.
A = {x : x ∈ R}
Jos A on luonnollisten lukujen kokoelma.
A = {x : x> 0 ja x ∈ Z]
Missä KANSSA on joukko kokonaislukuja.
Lue lisää, Sarjojen esitys .
Aseta symbolit matematiikassa
Viittaakseen erilaisiin asioihin ja summiin joukkosymboli käyttää usein ennalta määritettyä muuttujasymbolien luetteloa. Jotta voit lukea ja luoda joukkomerkintöjä, sinun on ensin ymmärrettävä, kuinka symboleja käytetään erilaisissa tilanteissa. Tarkastellaan tässä kategoriassa kaikkia joukkoteorian merkintöjä ja symboleja, jotka liittyvät operaatioihin, suhteisiin ja niin edelleen, sekä niiden merkityksiä ja esimerkkejä.
Numerojärjestelmässä käytetyt symbolit
Numerojärjestelmissä käytetyt symbolit sisältyvät alla olevaan taulukkoon:
| Symboli | Nimi | Merkitys/määritelmä | Esimerkki |
|---|---|---|---|
| W tai 𝕎 | Kokonaislukuja | Nämä ovat luonnollisia lukuja. | Tiedämme N = {1, 2, 3, . . . } 1∈ N |
| N tai ℕ | Luonnolliset luvut | Luonnollisia lukuja kutsutaan joskus laskentaluvuiksi, jotka alkavat 1:llä. | Tiedämme, että W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z tai ℤ | Kokonaisluvut | Kokonaisluvut ovat verrattavissa kokonaislukuihin, paitsi että ne sisältävät myös negatiivisia arvoja. | Tiedämme, että Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q tai ℚ | Rationaaliset luvut | Rationaaliluvut ovat niitä, jotka ilmaistaan muodossa a/b. Tässä tapauksessa a ja b ovat kokonaislukuja, joissa b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z ja b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P tai ℙ | Irrationaaliset luvut | Niitä lukuja, joita ei voida esittää muodossa a/b, kutsutaan irrationaalisiksi luvuiksi eli kaikkia reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalisia. gimp-fonttiluettelo | P = x π ja ∈ P |
| R tai ℝ | Oikeat numerot | Kokonaisluvut, rationaaliluvut ja irrationaaliset luvut muodostavat reaalilukuja. | R = x 6,343434 ∈ R |
| C tai ℂ | Monimutkaiset numerot | Kompleksiluku on reaaliluvun ja imaginaariluvun yhdistelmä. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 i ∈ C |
Joukkoteorian symbolit
Erottimet ovat erikoismerkkejä tai merkkisarjoja, jotka osoittavat tietyn joukon tietyn lauseen tai funktion rungon alun tai lopun. Seuraavat ovat erotinjoukkoteorian symbolit ja merkitykset:
| Symboli | Nimi | Merkitys/määritelmä | Esimerkki |
|---|---|---|---|
| {} | Aseta | Näissä suluissa on joukko elementtejä / numeroita / aakkosia. | {15, 22, c, d} |
| | | Sellaista että | Näitä käytetään joukon muodostamiseen määrittämällä, mitä se sisältää. | q> 6 Lause määrittää kaikkien q:iden joukon siten, että q on suurempi kuin 6. |
| : | Sellaista että | :-symbolia käytetään joskus |-merkin sijaan symboli. | Yllä oleva lause voidaan vaihtoehtoisesti kirjoittaa muodossa q . |
Joukkot ja relaatiosymbolit joukkoteoriassa
Joukkoteorian symboleja käytetään tunnistamaan tietty joukko sekä määrittämään/näyttämään suhde erillisten joukkojen tai joukon sisällä olevien suhteiden välillä, kuten joukon ja sen osatekijän välinen suhde. Alla olevassa taulukossa on kuvattu tällaisia suhdesymboleja, niiden merkityksiä ja esimerkkejä:
| Symboli | Nimi | Merkitys/määritelmä | Esimerkki |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | On osa | Tämä määrittää, että elementti on tietyn joukon jäsen. | Jos joukko A={12, 17, 18, 27}, voidaan sanoa, että 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Ei ole osa | Tämä osoittaa, että elementti ei kuulu tiettyyn joukkoon. | Jos joukko B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, mikään muu alkio kuin joukossa oleva ei kuulu tähän joukkoon. Esimerkkinä 18 ∉ B. |
| A = B | Tasa-arvoinen suhde | Toimitetut sarjat ovat samanarvoisia siinä mielessä, että niissä on samat komponentit. | Jos laitat P={16, 22, a} ja Q={16, 22, a}, niin P=Q. |
| A ⊆ B | Osajoukko | Kun kaikki A:n kohteet ovat B:ssä, A on B:n osajoukko. | A= {31, b} ja B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Oikea osajoukko | P:n sanotaan olevan B:n oikea osajoukko, kun se on B:n osajoukko eikä yhtä suuri kuin B. | A= {24, c} ja B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Ei alajoukko | Tämän seurauksena joukko A ei ole joukon B osajoukko. | A = {67,52} ja B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Superset | A on B:n superjoukko, jos joukko B on A:n osajoukko. Joukko A voi olla sama tai suurempi kuin joukko B. | A = {14, 18, 26} ja B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Oikea Superset | Joukko A sisältää enemmän elementtejä kuin joukko B, koska se on B:n superjoukko. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Ei supersetti | Kun kaikki B:n elementit eivät ole A:ssa, A ei ole B:n todellinen superjoukko. | A = {11, 12, 16} ja B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Tyhjä sarja | Tyhjä tai nollajoukko on joukko, joka ei sisällä mitään elementtejä. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| SISÄÄN | Universaali setti | Joukko, joka sisältää elementtejä kaikista asiaankuuluvista joukoista, mukaan lukien omansa. | Jos A = {a,b,c} ja B = {1,2,3,b,c}, niin U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| tai n{A} | Sarjan kardinaalisuus | Kardinaalisuus viittaa esineiden määrään tietyssä kokoelmassa. | Jos A= {17, 31, 45, 59, 62}, niin |A|=5. |
| P(X) | Tehosarja | Potenssijoukko on joukon X kaikkien osajoukkojen joukko, mukaan lukien itse joukko ja nollajoukko. | Jos X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Operaattoripohjaiset symbolit joukkoteoriassa
Esimerkkien avulla tutkimme joukkoteorian symboleja ja merkityksiä lukuisille operaatioille, kuten liitto, komplementti, leikkaus, ero ja muut.
| Symboli | Nimi | Merkitys/määritelmä | Esimerkki |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Sarjojen liitto | Sarjojen liitto luo täysin uuden sarjan yhdistämällä kaikki toimitettujen sarjojen komponentit. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A liitto B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Joukkojen risteys | Molempien joukkojen yhteinen komponentti sisältyy leikkauspisteeseen. | A = { 4, 8, a, b} ja B = {3, 8, c, b}, sitten A ∩ B = {8, b} |
| XcTAIX' | Sarjan täydennys | Sarjan täydennys sisältää kaikki asiat, jotka eivät kuulu annettuun joukkoon. | Jos A on universaali joukko ja A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} ja B = {13, 15, 17, 18, 19}, X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A-B | Aseta ero | Erotusjoukko on joukko, joka sisältää kohteita yhdestä joukosta, joita ei löydy toisesta. | A = {12, 13, 15, 19} ja B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Karteesinen sarjojen tuote | Karteesinen tuote on sarjan tilattujen komponenttien tulos. | A = {4, 5, 6} ja B = {r} Nyt A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Sarjojen symmetrinen ero | A Δ B = (A – B) U (B – A) tarkoittaa symmetristä eroa. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Lue lisää
- Sarjojen tyypit
- Toiminta sarjoissa
Ratkaistut esimerkit joukkosymboleista
Esimerkki 1: Mikä on P∪Q:n arvo?
Vastaus:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} ja Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Esimerkki 2: Mikä on |Y|:n arvo jos Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Vastaus:
|Y| = Joukon kardinaalisuus = joukon alkioiden määrä on ratkaisu.
|Y| = n(Y)=6, koska joukossa Y on 6 alkiota.
Esimerkki 3: Kun annetaan kaksi joukkoa arvoilla P={a,c,e} ja Q={4,3}, määritä niiden karteesinen tulo.
Vastaus:
Karteesinen tulo = P × Q
ilmainen ipconfigJos P={b, d, f} ja Q={5, 6}
Sitten P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d) ,6), (b,5), (d,6)}
Esimerkki 4: Oletetaan, että P = {x: x on luonnollinen kokonaisluku ja luvun 24 kerrannainen, ja Q = {x: x on luonnollinen luku, joka on pienempi kuin 8}. Määritä P ∪ Q.
Vastaus:
Olettaen että
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
int charQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Tuloksena P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Esimerkki 5: Oletetaan, että P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Etsi (P ∩ Q)'.
Vastaus:
Annettu, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Siksi,
(P ∩ Q)' = {3, 5, 6, 7, 8}
Esimerkki 6: Jos P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} ja Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, määritä
(i) P-Q ja (ii) P-Q.
Vastaus:
Annettu,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} ja Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Harjoituskysymyksiä asetettujen symbolien osalta
Kysymys 1: Sarjat huomioon ottaen:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Määritä joukkojen A ja B liiton alkiot.
Kysymys 2: Mietitään sarjoja:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Etsi joukkojen X ja Y leikkauspiste.
Kysymys 3: Oletetaan, että sinulla on sarjat:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Laske alkiot joukossa P – Q sekä Q – P.
Kysymys 4: Oletetaan, että sinulla on sarjat:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Selvitä, onko joukko V joukon U osajoukko.
Kysymys 5: Harkitse sarjoja:
- S = {omena, banaani, appelsiini, päärynä}
- T = {päärynä, mango, kirsikka}
Etsi joukkojen S ja T karteesinen tulo.
Kysymys 6: Oletetaan, että sinulla on universaali sarja:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Ja setit:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Laske joukkojen E ja F komplementti yleisjoukon U suhteen.
Usein kysytyt kysymykset asetuksista symboleista
1. Määritä Aseta symboli.
Joukkosymboli on haara, joka tutkii entiteettien/lukujen/objektien ryhmittelyjä, niiden suhteita muihin joukkoihin, erilaisia operaatioita (liitto, leikkaus, komplementti ja ero) ja niihin liittyviä ominaisuuksia.
2. Mitä tämä symboli ⊆ edustaa?
Symboli ⊆ tarkoittaa, että se on osajoukko. Osajoukko on joukko, jonka kohteet on lisätty ikään kuin ne olisivat kaikki toisen joukon elementtejä.
3. Mitä ∪ tarkoittaa joukoissa?
'∪' on joukkoliiton merkki. A ∪ B on joukko, joka sisältää kaikki joukkojen A ja B elementit.
4. Mitä P = Q edustaa?
Jos joukko P on yhtä suuri kuin joukko Q, niin P:n ja Q:n jäsenet ovat samat. Esimerkiksi:
P = {4,5,6} ja Q = {6,5,4}
Tuloksena P = Q.
5. Mitä ∩ tarkoittaa matematiikassa?
'∩' tarkoittaa kahden joukon liittoa. A ∩ B on joukko, joka sisältää sekä A:n että B:n yhteisiä kohteita.
6. Mikä on ∈ joukoissa?
∈ on merkki, joka tarkoittaa 'kuuluu'. Jos b ∈ B, se osoittaa, että b on B:n alkio.
7. Mikä on joukko N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} tunnetaan?
Luonnollisten lukujen joukko määritellään seuraavasti: N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Se sisältää kaikki positiiviset luvut 1:stä äärettömään. Tämä kokoelma on ratkaisevan tärkeä matematiikan kannalta ja tarjoaa puitteet sekä järjestämiselle että laskennalle.
8. Mikä on A × B joukoissa?
Joukkojen A ja B karteesinen tulo näkyy joukon symbolissa muodossa A x B. Se on joukko, joka sisältää kaikki mahdolliset järjestetyt parit, joissa ensimmäinen elementti on otettu joukosta A ja toinen joukosta B.
9. Kuinka luet A ∩ B?
A∩B lausutaan A-leikkauspisteenä B. Se tarkoittaa joukkoa, joka sisältää molemmissa joukoissa yhteisiä elementtejä.
10. Mitä Ø tarkoittaa joukkoteoriassa?
Joukkoteoriassa idea tyhjästä joukosta, jossa ei ole alkioita, on merkitty symbolilla Ø (lausutaan tyhjä joukko).
11. Mikä on AUB?
AUB tarkoittaa matematiikassa joukkojen A ja B liittoa. Se viittaa joukkoon, joka sisältää jokaisen elementin sekä joukosta A että B.
12. Onko ∅ sama kuin {}?
Kyllä, ∅ ja {} edustavat molemmat tyhjää joukkoa matematiikassa. Siten molemmat ovat saman asian eri merkintä.