Osajoukot matematiikassa ovat keskeinen käsite joukkoteorian tutkimuksessa, samanlainen kuin joukot. Joukkoa elementtejä, objekteja tai jäseniä, jotka on suljettu aaltosulkeisiin, kuten {x, y, z}, kutsutaan Aseta , jossa jokainen joukon jäsen on ainutlaatuinen. Joten joukolle {x, y, z} mahdolliset osajoukot ovat {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} tai { x, y, z}. Joukkoa määritettäessä sen elementit voivat olla reaalilukuja, vakioita, muuttujia tai mitä tahansa muita objekteja.

Tämä artikkeli tutkii osajoukkojen käsitettä yksityiskohtaisesti ja tekee siitä helposti ymmärrettävän kaikkien artikkelin lukijoiden kannalta ottamatta huomioon heidän akateemista tasoaan. Kaikki ala-aiheet, kuten niiden merkitys, määritelmä, symboli, esimerkki ja monet monet muut, käsitellään artikkelissa runsaasti esimerkkejä. Joten aloitetaan matkamme joukkoteorian maahan ja ymmärretään tämä osajoukkojen käsite.

Tässä artikkelissa olemme antaneet yksityiskohtaisia ​​tietoja mitä ovat osajoukot matematiikassa, superjoukot matematiikassa, oikea osajoukko ja väärä osajoukko esimerkkien ja usein kysyttyjen kysymysten kanssa.

Sisällysluettelo

• Mitä osajoukot ovat matematiikassa?
• Esimerkki osajoukoista
• Sarjan tehosarja
• Osajoukkojen tyypit
• Oikea osajoukko
• Väärä osajoukko
• Oikeat ja väärät osajoukot
• Osajoukot vs superjoukot

Mitä osajoukot ovat matematiikassa?

Joukko 'A' on joukon 'B' osajoukko, jos kaikki joukon A elementit kuuluvat joukon B alle. Osajoukko voi myös olla yhtä suuri kuin joukko tietyssä tapauksessa, kun kaikki osajoukon alkiot sisältyvät joukkoon B. aseta.

Osajoukon ymmärtämiseksi paremmin katsotaan, että joukko A on kokoelma parittomia lukuja ja joukko B koostuu luvusta {1,3,5}, joten tässä B on A:n osajoukko ja A on B:n superjoukko.

Esimerkiksi: Jos joukko A sisältää {omena, banaani} ja joukko B sisältää {kaikki hedelmät}, A on B:n osajoukko.

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä paremman ymmärtämisen vuoksi.

Esimerkki: Määritä, mikä on osajoukko ja mikä on yläjoukko, jos A = {a, e, i, o, u} ja B = { Kaikki aakkoset}.

Vastaus:

unordered_map c++

Tässä A sisältää kaikki vokaalielementit, jotka ovat osa aakkosia. Joten tässä A on B:n osajoukko ja B on A:n yläjoukko.

Osajoukon määritelmä

Matemaattisesti joukon A oletetaan olevan joukon B osajoukko, jos kaikki joukon A komponentit ovat olemassa myös joukossa B. Osajoukko on siis minkä tahansa joukon aliryhmä. Joukko A on toisin sanoen joukossa B.

Esimerkiksi: Jos joukko A = {1, 2, 3} ja joukko B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, voidaan sanoa, että joukko A on joukon B osajoukko, koska kaikki joukon A elementit ovat käytettävissä sarjassa B.

Osajoukon merkitys

Joukko, jonka kaikki elementit ovat osajoukon elementtejä, on osajoukon merkitys. Tarkastellaan joukkoa X siten, että X sisältää maan kaikkien jokien nimet. Toinen joukko Y sisältää jokien nimet Pohjois-Intiassasi. Tässä y on x:n osajoukko, koska kaikki Pohjois-Intian joet olisivat myös maamme jokia; näin ollen Y on X:n osajoukko. Jokaiselle joukolle on vain tietty määrä erillisiä tai ainutlaatuisia osajoukkoja, joten loput ovat merkityksettömiä ja toistuvia.

Esimerkki: Listaa kaikki osajoukot joukko Q = {1, 2, 3}.

Vastaus:

Q:n osajoukot ovat { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} ja {1, 2, 3}

Osajoukon symboli

Osajoukko on merkitty symbolilla ja luetaan 'on osajoukko'. joukko teoria . Osajoukkoa edustaa symboli, jonka antaa ⊆. Osajoukot voidaan ilmaista tällä symbolilla seuraavasti:

A ⊆ B tämä tarkoittaa, että joukko A on joukon B osajoukko.

kääntää merkkijono javassa

Esimerkki osajoukoista

Ainoa tarve joukon A olla joukon B osajoukko on, että jokainen A:n elementti on läsnä B:ssä. Tässä on joitain tähän perustuvia osajoukkoja.

• A = {2, 3, 10} on osajoukko B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Kaikkien alkulukujen joukko on osajoukko N = Kaikkien luonnollisten lukujen joukko ja
• X = {a, e, i, o, u} ovat vokaalien kokoelma ja osajoukko Y = kaikkien aakkosten joukko.

On syytä huomata, että jokainen joukko on itsensä osajoukko, kuten myös tyhjä joukko ().

Esimerkki: Voiko nollajoukko olla minkä tahansa joukon osajoukko?

Vastaus:

Null on jokaisen joukon osajoukko. Oletuksena katsomme tämän tosiasian, että kaikki joukot sisältävät elementin nimeltä null set.

Reaaliluvun osajoukot

Reaaliluvut, jotka voidaan ilmaista desimaalilukuina, kuuluvat useisiin luokkiin. Päivittäisestä elämästäsi olet epäilemättä jo perehtynyt murtolukuihin, desimaalilukuihin ja lukujen laskemiseen. Seuraavia lukuja pidetään reaalilukujen osajoukkoina:

• Rationaaliset luvut : Mikä tahansa luku, joka voidaan ilmaista murtolukuna, p/q, jossa p ja q ovat molemmat positiivisia kokonaislukuja. Nämä ovat ei-päättäviä, toistuvia desimaalilukuja ja päättäviä desimaalilukuja desimaalimuodossa. Esimerkki: -5/9, 1/8
• Irrationaaliset luvut : Nämä numerot eivät pääty tai toistu desimaalimuodossa. Esim: e.
• Kokonaisluvut : Kaikki laskevat luvut, mukaan lukien nolla ja niiden vastakohdat. Esimerkki: -2,-1,0,3
• Kokonaislukuja : Nolla ja kaikki positiiviset laskentaluvut. Ex- 0, 2, 500
• Luonnolliset luvut : Kaikki positiiviset laskentaluvut. Ex- 1,2,40

Esimerkki: Mihin reaalilukujen osajoukkoon -5 kuuluu?

Vastaus:

-5 on rationaalinen luku ja kokonaisluku.

Sarjan tehosarja

Setti tehosarja koostuu jokaisesta osajoukosta sekä alkuperäisestä ja tyhjästä joukosta. P(A) tarkoittaa tietyn joukon A potenssijoukkoa. Esimerkiksi jos A = {1, 2}, niin P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Tässä voimme selvästi nähdä, että kaikki A:n osajoukot sisältyvät P(A) eli A:n tehojoukkoon.

Joukon osajoukkojen lukumäärä

Mille tahansa joukolle A, setusten määrä on annettu seuraavan kaavan avulla

Osajoukkojen lukumäärä = 2 ⁿ

Missä n on joukon elementtien lukumäärä.

Koska potenssijoukko sisältää minkä tahansa joukon kaikki osajoukot, joten joukolle A, jossa on 'n' elementtiä, P(A):lla on 2ⁿelementtejä.

Esimerkki: Kuinka monta potenssijoukon alkiota voidaan muodostaa, jos joukossa on neljä alkiota?

Vastaus:

Kolmen elementin tehojoukon elementtien lukumäärä on 2⁴= 16.

Osajoukkojen tyypit

On olemassa kahdenlaisia ​​osajoukkoja, jotka ovat:

• Oikea osajoukko
• Väärä osajoukko

Tarkastellaan näitä tyyppejä yksityiskohtaisesti seuraavasti:

Oikea osajoukko

A oikea osajoukko sisältää vain muutamia alkuperäisen sarjan jäseniä. Oikea osajoukko ei voi koskaan olla yhtä suuri kuin alkuperäinen joukko. Oikeassa osajoukossa alkuperäisen joukon muodostava osajoukko jätetään pois.

Oikea osajoukon symboli

Oikea osajoukko on merkitty ⊂,

Voimme ilmaista oikean osajoukon joukolle A ja joukolle B;

A ⊂ B

Esimerkki oikeista osajoukoista

Olkoon joukko A = {1, 3, 5}, sitten A:n oikeat osajoukot ovat {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Myös {1, 3, 5} on A:n osajoukko, mutta se ei ole oikea A:n osajoukko.

Oikea osajoukkokaava

'n'-elementin joukon oikeiden osajoukkojen määrä on 2ⁿ- 1.

Esimerkki: Joukko sisältää 3 elementtiä, mikä on oikeiden osajoukkojen lukumäärä?

cpld vs fpga

Vastaus:

Oikeiden osajoukkojen lukumäärä = 2ⁿ- 1

Tässä n = 3

N = 2³– 1 = 7

Väärä osajoukko

An väärä osajoukko sisältää sekä nollajoukon että jokaisen alkujoukon jäsenen. Väärä osajoukko voi olla yhtä suuri kuin alkuperäinen joukko. Väärässä osajoukossa on mukana alkuperäisen joukon muodostava osajoukko. Tätä edustaa symboli ⊆ .

Esimerkki: Mikä on joukon A = {1, 3, 5} väärä osajoukko?

Vastaus:

Virheellinen osajoukko: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} ja {1,3,5}

Väärä osajoukkokaava

'n'-elementtien joukossa virheellisten osajoukkojen määrä on aina 1. Toisin sanoen joukon sopimattomien osajoukkojen määrä on riippumaton sen elementtien määrästä.

Lisätietoja, Joukkoteorian kaavat

Oikeat ja väärät osajoukot

Tärkeimmät erot oikeiden ja sopimattomien osajoukkojen välillä on lueteltu seuraavassa taulukossa:

Esimerkki: Etsi oikea ja väärä osajoukko joukolle P = {1,2}.

Ratkaisu:

tostring javassa

Oikea joukko annetaan { }, {1} ja {2}

Virheellinen joukko annetaan { }, {1}, {2} ja {1,2}

Osajoukot vs superjoukot

Tärkeimmät erot molempien välillä osajoukkoja ja supersetit on lueteltu seuraavassa taulukossa:

Osajoukon kaava

Alla on kaikki osajoukkoon liittyvät kaavat.

• N alkiota sisältävän joukon osajoukkojen määrä on 2ⁿ. Tämä sisältää sekä oikeat että väärät osajoukot.
• Oikeiden osajoukkojen määrä joukossa, jossa on n alkiota, on 2ⁿ- 1.
• Minkä tahansa joukon virheellisten osajoukkojen määrä on aina 1.

Myös Lue

• Setin esitys
• Sarjojen tyypit
• Yleiset setit

Ratkaistiin osajoukkojen ongelmia

Tehtävä 1: Kuinka monta osajoukkoa joukossa, jossa on 4 alkiota?

Ratkaisu:

Sarjassa, joka sisältää 4 elementtiä, on 2⁴siinä olevat elementit = 16.

Tehtävä 2: Kuinka monta osajoukkoa joukossa, jossa on 5 alkiota?

Ratkaisu:

Sarjassa, joka sisältää 5 elementtiä, on 2⁵siinä olevat elementit = 32.

Usein kysytyt kysymykset osajoukoista

Mitä osajoukot ovat matematiikassa?

Jos jokainen joukon A komponentti on myös joukossa B, joukon A sanotaan olevan joukon B osajoukko. Toisin sanoen joukko B sisältää joukon A.

Mitä ovat oikeat osajoukot?

Joukon A osajoukko, joka ei ole yhtä suuri kuin A, on A:n oikea osajoukko. Toisin sanoen, jos B on A:n oikea osajoukko, niin A:lla on ainakin yksi alkio, joka ei ole B:ssä, mutta kaikki B:n alkiot ovat jonkin sisällä.

Mitä ovat sopimattomat osajoukot?

Osajoukko, joka sisältää kaikki alkuperäisen joukon komponentit, katsotaan sopimattomaksi osajoukoksi.

Voiko osajoukko olla samanarvoinen itsensä kanssa?

Jokaista joukkoa pidetään oman itsensä osajoukona. Mikään joukon oikea osajoukko on itse. Jokaisessa joukossa on tyhjä joukko osajoukona.

Voiko osajoukko olla universaali joukko?

Voimme sanoa, että joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Silloin mitä tahansa yleisjoukkoa voidaan käyttää osajoukkojen tuottamiseen. On myös tärkeää pitää mielessä, että jokainen universaali joukko on itse asiassa osajoukko itsestään.

Voiko osajoukko olla nolla?

Kyllä, nollajoukko on oletuksena minkä tahansa joukon osajoukko.

Mitkä ovat alajoukon kaksi luokitusta?

Alajoukkojen luokitukset ovat:

• Oikea osajoukko
• Väärä osajoukko