Standardipoikkeama on tilastojen hajaantumisen mitta. Keskihajonnan kaavalla etsitään data-arvon poikkeama keskiarvosta, eli sitä käytetään tietojoukon kaikkien arvojen hajoamiseen keskiarvoon. Satunnaismuuttujan keskihajonnan laskemiseen on olemassa erilaisia ​​keskihajonnan kaavoja.

Tässä artikkelissa opimme mikä on keskihajonta, keskihajonnan kaavat, keskihajonnan laskeminen ja yksityiskohtaisia ​​esimerkkejä keskihajonnasta.

Sisällysluettelo

• Mikä on keskihajonta?
• Keskihajonnan määritelmä
• Keskihajontakaava
• Keskihajonnan laskentakaava
• Kuinka laskea keskihajonta?
• Mikä on varianssi
• Ero varianssin ja poikkeaman välillä
• Varience Formula
• Kuinka laskea varianssi?
• Ryhmittelemättömien tietojen keskihajonta
• Diskreettien ryhmiteltyjen tietojen keskihajonta
• Jatkuvien ryhmiteltyjen tietojen keskihajonta
• Todennäköisyysjakauman keskihajonta
• Satunnaismuuttujien keskihajonta
• Esimerkki standardipoikkeamakaavasta
• Keskihajontakaava Excel
• Keskihajontakaavatilastot

Mikä on keskihajonta?

Standardipoikkeama määritellään datapisteen dispersion asteena datapisteen keskiarvoon. Se kertoo kuinka datapisteiden arvo vaihtelee datapisteen keskiarvoon ja kertoo datapisteen vaihtelusta datanäytteessä.

Tietyn tietojoukon otoksen keskihajonta määritellään myös neliöjuureksi varianssi tietojoukosta. Keskimääräinen poikkeama n arvoista (sanotaan x₁, x₂, x₃, …, x_n) lasketaan ottamalla kunkin arvon erotuksen neliöiden summa keskiarvosta, ts.

Keskimääräinen poikkeama = 1/n∑ _i ⁿ (x _i – x̄) ²

Keskipoikkeamaa käytetään kertomaan meille tietojen hajoamisesta. Pienempi poikkeama kertoo, että havainnot xi ovat lähellä keskiarvoa ja aleneminen on alhainen, kun taas suurempi poikkeama kertoo, että havainnot xi ovat kaukana keskiarvosta ja dispersio on suuri.

merkkijonojen joukko c-ohjelmoinnissa

Keskihajonnan määritelmä

Keskihajonta on mitta, jota käytetään tilastoissa ymmärtämään, kuinka joukon datapisteet jakautuvat joukosta tarkoittaa arvo. Se osoittaa tietojen vaihtelun laajuuden ja näyttää kuinka paljon yksittäiset datapisteet poikkeavat keskiarvosta.

Tarkistaa: Kuinka löytää keskihajonta tilastoista?

Keskihajontakaava

Keskihajontaa käytetään tilastotietojen leviämisen mittaamiseen. Se kertoo meille, kuinka tilastotiedot jakautuvat. Kaava keskihajonnan laskemiseksi käytetään etsimään kaikkien tietojoukkojen poikkeama sen keskimääräisestä sijainnista. Sinulla voi olla kysyttävää, että keskihajonnan laskeminen tai kuinka lasketaan keskihajonta . On olemassa kaksi keskihajonnan kaavaa, joita käytetään minkä tahansa tietojoukon keskihajonnan löytämiseen. He ovat,

• Väestön keskihajontakaava
• Standardipoikkeamakaavanäyte

missä,

• s on väestön keskihajonta
• x _i olenko minä ^th havainto
• x̄ on näytteen keskiarvo
• N on havaintojen lukumäärä

missä,

• σ on väestön keskihajonta
• x_iolenko minä^thHavainto
• μ on väestön keskiarvo
• N on havaintojen lukumäärä

On selvää, että molemmat kaavat näyttävät samalta ja niiden nimittäjässä on vain liukumuutoksia. Otoksen nimittäjä on n-1 mutta tapauksessa asukasluku on N. Aluksi nimittäjä näytteen keskihajonta kaavalla on n nimittäjässä, mutta tämän kaavan tulos ei ollut sopiva. Joten korjaus tehtiin ja n korvataan arvolla n-1, tätä korjausta kutsutaan Besselin korjaukseksi mikä puolestaan ​​tuotti sopivimmat tulokset.

Lue lisää: Ero varianssin ja keskihajonnan välillä

Keskihajonnan laskentakaava

Keskihajonnan laskemiseen käytetty kaava on kuvattu alla olevassa kuvassa,

Kuinka laskea keskihajonta?

Yleensä, kun puhumme keskihajonnasta, puhumme siitä väestön keskihajonta . Vaiheet tietyn arvojen keskihajonnan laskemiseksi ovat seuraavat:

Vaihe 1: Laske havainnon keskiarvo kaavan avulla

(Keskiarvo = Havaintojen summa / Havaintojen määrä)

Vaihe 2: Laske data-arvojen neliöerot keskiarvosta.

(Tiedon arvo – keskiarvo)²

Vaihe 3: Laske neliöerojen keskiarvo.

(Varianssi = neliöityjen erojen summa / havaintojen määrä)

Vaihe 4: Laske varianssin neliöjuuri, joka antaa keskihajonnan.

(Standardipoikkeama = √Varianssi)

Mikä on varianssi

Varianssi pohjimmiltaan kertoo meille, kuinka hajautunut tietojoukko on. Jos kaikki datapisteet ovat samat, varianssi on nolla. Kaikki nollasta poikkeavat varianssit katsotaan positiivisiksi . Pieni varianssi tarkoittaa, että datapisteet ovat lähellä keskiarvoa (tai keskiarvoa) ja toisiaan. Suuri varianssi tarkoittaa, että datapisteet ovat hajallaan keskiarvosta ja toisistaan. Yksinkertaisesti sanottuna varianssi on keskiarvo siitä, kuinka kaukana kukin datapiste on keskiarvosta, neliöitynä.

Ero varianssin ja poikkeaman välillä

Tarkistaa:

• Ero varianssin ja keskihajonnan välillä
• Keskiarvo, varianssi ja keskihajonta

Varianssikaava

Kaava tietojoukon varianssin laskemiseksi on seuraava:

Varianssi (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N

Missä:

• Σ tarkoittaa summaamista (laskua yhteen)
• x edustaa jokaista yksittäistä datapistettä
• μ (mu) on tietojoukon keskiarvo (keskiarvo).
• N on datapisteiden kokonaismäärä

Kuinka laskea varianssi?

Tietojoukon varianssin laskemisen vaiheet:

Vaihe 1: Laske keskiarvo (keskiarvo):

Laske yhteen kaikki tietojoukon arvot ja jaa arvojen kokonaismäärällä. Tämä antaa sinulle keskiarvon (μ).

Keskiarvo (μ) = (kaikkien arvojen summa) / (arvojen kokonaismäärä)

Vaihe 2: Etsi neliöerot keskiarvosta:

Vähennä jokaiselle tietojoukon arvolle ensimmäisessä vaiheessa laskettu keskiarvo kyseisestä arvosta ja neliöi sitten tulos. Tämä antaa sinulle kunkin arvon neliöllisen eron.

Jokaisen arvon neliöllinen ero = (arvo – keskiarvo)^2

Vaihe 3: Laske neliöerojen keskiarvo:

Laske yhteen kaikki edellisessä vaiheessa lasketut neliöerot ja jaa sitten tietojoukon arvojen kokonaismäärällä. Tämä antaa sinulle varianssin (σ^2).

Varianssi (σ^2) = (kaikkien neliöerojen summa) / (Arvojen kokonaismäärä)

Tarkistaa: Varianssi ja keskihajonta

Ryhmittelemättömien tietojen keskihajonta

Oletettu keskimääräinen menetelmä

Vaihepoikkeamamenetelmä

Keskihajonta todellisen keskiarvon menetelmällä

Keskihajonta todellisen keskiarvon menetelmällä laskee annettujen tietojen keskiarvon peruskeskikaavalla ja tätä keskiarvoa käyttämällä saamme selville annettujen data-arvojen keskihajonnan. Laskemme keskiarvon tässä menetelmässä kaavalla,

μ = (Havaintojen summa)/(Havaintojen määrä)

ja sitten keskihajonta lasketaan keskihajontakaavalla.

σ = √(∑ _i ⁿ (x _i – x̄) ² /n)

Esimerkki: Etsi tietojoukon keskihajonta. X = {2, 3, 4, 5, 6}

Ratkaisu:

Annettu,

• n = 5
• x_i= {2, 3, 4, 5, 6}

Me tiedämme,

Keskiarvo (μ) = (Havaintojen summa)/(Havaintojen määrä)

⇒ μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5

⇒ μ = 4

s²= ∑_iⁿ(x_i– x̄)²/n

⇒ s²= 1/n[(2-4)²+ (3–4)²+ (4–4)²+ (5–4)²+ (6–4)²]

⇒ s²= 10/5 = 2

Siten σ = √(2) = 1,414

Keskihajonta oletetun keskiarvon menetelmällä

Erittäin suurille x:n arvoille ryhmiteltyjen tietojen keskiarvon löytäminen on työlästä, joten otimme mielivaltaisen arvon (A) keskiarvoksi ja laskemme sitten keskihajonnan normaalilla menetelmällä. Oletetaan n data-arvon ryhmälle ( x₁, x₂, x₃, …, x_n), oletettu keskiarvo on A, jolloin poikkeama on,

d _i = x _i – A

Nyt, oletettu keskimääräinen kaava on,

σ = √(∑ _i ⁿ (d _i ) ² /n)

Keskihajonta askelittain Poikkeamamenetelmä

Voimme myös laskea ryhmiteltyjen tietojen keskihajonnan askelpoikkeamamenetelmällä. Kuten yllä olevassa menetelmässä myös tässä menetelmässä, valitsemme myös mielivaltaisen dataarvon oletuksi keskiarvoksi (sanotaan A). Sitten laskemme kaikkien data-arvojen poikkeamat (x ₁ , x ₂ , x ₃ , …, x _n ), d _i = x _i – A

Seuraavassa vaiheessa laskemme askelpoikkeamat (d') käyttämällä

d' = d/i

missä ' i ' on kaikkien 'd'-arvojen yhteinen tekijä

Sitten, keskihajonnan kaava on,

σ = √[(∑(d') ² /n) – (∑d’n) ² ] × i

missä ' n ' on tietoarvojen kokonaismäärä

Diskreettien ryhmiteltyjen tietojen keskihajonta

Ryhmitellyissä tiedoissa teimme ensin taajuustaulukon ja sen jälkeen tehtiin lisälaskelmat. Diskreettien ryhmiteltyjen tietojen keskihajonnan voi myös laskea käyttämällä kolmea menetelmää, jotka ovat

• Todellinen keskimääräinen menetelmä
• Oletettu keskimääräinen menetelmä
• Vaihepoikkeamamenetelmä

Diskreettiin taajuusjakaumaan perustuva standardipoikkeamakaava

Tietylle tietojoukolle, jos sillä on n arvoa (x₁, x₂, x₃, …, x_n) ja niitä vastaava taajuus on (f₁, f₂, f₃, …, f_n) sitten sen keskihajonta lasketaan kaavalla,

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (x _i – x̄) ² /n)

missä,

• n on kokonaistaajuus (n = f₁+ f₂+ f₃+…+ f_n)
• x on tiedon keskiarvo

Esimerkki: Laske keskihajonta annetuille tiedoille

Ratkaisu:

Keskiarvo (x̄) = ∑(f_ix_i)/∑(f_i)

⇒ Keskiarvo (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)

⇒ Keskiarvo (μ) = 60/10 = 6

n = ∑(f_i) = 1+3+5+1 = 10

Nyt,

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (x _i – x̄) ² /n)

⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]

⇒ σ = √(3.6) = 1.897

Standardijohdannainen(σ) = 1,897

d _i = x _i – A

Nyt keskihajonnan kaava oletetun keskiarvon menetelmällä on,

σ = √[(∑(f _i d _i ) ² /n) – (∑f _i d _i /n) ² ]

missä,

• ' f ' on Data-arvon taajuus x
• ' n ' on kokonaistaajuus [n = ∑(f _i )]

Seuraavassa vaiheessa laskemme askelpoikkeamat (d') käyttämällä

d' = d/i

missä ' i 'on yhteinen tekijä' d 'arvot

Sitten, keskihajonnan kaava on,

σ = √[(∑(fd') ² /n) – (�'/n) ² ] × i

missä ' n ' on tietoarvojen kokonaismäärä

Jatkuvien ryhmiteltyjen tietojen keskihajonta

Jatkuvalle ryhmitellylle tiedolle voimme helposti laskea keskihajonnan Diskreettien datakaavojen avulla korvaamalla jokainen luokka sen keskipisteellä (kuten x_i) ja laskee sitten normaalisti kaavat.

Jokaisen luokan keskipiste lasketaan kaavalla,

x _i (Keskipiste) = (Yläraja + alaraja)/2

Esimerkiksi, Laske jatkuvien ryhmiteltyjen tietojen keskihajonta taulukon mukaisesti,

Todellinen keskimääräinen menetelmä

• Oletettu keskimääräinen menetelmä
• Vaihepoikkeamamenetelmä

Voimme käyttää mitä tahansa yllä olevista menetelmistä keskihajonnan löytämiseksi. Tästä löydämme keskihajonnan todellisen keskiarvon menetelmällä.

Ratkaisu yllä olevaan kysymykseen on,

Keskiarvo (x̄) = ∑(f_ix_i)/∑(f_i)

⇒ Keskiarvo (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)

⇒ Keskiarvo (μ) = 240/10 = 24

n = ∑(f_i) = 2+4+2+2 = 10

Nyt,

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (x _i – x̄) ² /n)

⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]

⇒ σ = √(104) = 10 198

Standardijohdannainen(σ) = 10 198

Samoin voidaan käyttää myös muita menetelmiä jatkuvan ryhmitellyn datan keskihajonnan löytämiseen.

Tarkistaa: Keskihajonta yksittäisissä sarjoissa

Todennäköisyysjakauman keskihajonta

Kaikkien mahdollisten tulosten todennäköisyys on yleensä sama ja teemme monia kokeita löytääksemme kokeellisen todennäköisyyden tietylle kokeelle.

• Normaalijakaumassa keskimääräinen odotettu keskiarvo on nolla ja keskihajonta on 1.
• Binomijakauman keskihajonta saadaan kaavasta,

σ = √(npq)

missä,

• n on Kokeiden määrä
• s on kokeilun onnistumisen todennäköisyys
• q on kokeilun epäonnistumisen todennäköisyys (q = 1 – p)

• Poisson-jakauman standardipoikkeama saadaan kaavalla

σ = √λt

missä,

• l on Keskimääräinen Onnistumisten lukumäärä
• t on annettu aikaväli

Satunnaismuuttujien keskihajonta

Satunnaiset muuttujat ovat numeerisia arvoja, jotka ilmaisevat satunnaiskokeen mahdollista tulosta näyteavaruudessa. Satunnaismuuttujan keskihajonnan laskeminen kertoo satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta ja eron odotusarvosta.

Käytämme X, Y ja Z funktioina edustamaan satunnaismuuttujia. Satunnaismuuttujan todennäköisyyttä merkitään P(X) ja odotusarvoa μ-symbolilla.

Sitten todennäköisyysjakauman keskihajonta annetaan kaavalla,

σ = √(∑ (x _i – m) ² × P(X)/n)

repl javassa

Lue lisää,

• Tarkoittaa
• tila
• Keskimääräinen poikkeama

Esimerkki standardipoikkeamakaavasta

Esimerkki 1: Etsi seuraavien tietojen keskihajonta,

Ratkaisu:

Tee ensin taulukko seuraavasti, jotta voimme laskea muut arvot helposti.

Keskiarvo (μ) = ∑(f _i x _i )/∑(f _i )

⇒ Keskiarvo (μ) = 91/8 = 11,375

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (x _i – m) ² /n)

⇒ σ = √[(121.87)/(8)]

⇒ σ = √(15,234)

⇒ σ = 3,90

Standardijohdannainen(σ) = 3,90

Ratkaisu:

Luokka	Xi	fi	f × Xi	Xi - μ	(Xi – μ)2	f×(Xi– m)2
0-10	5	3	viisitoista	-viisitoista	225	675
10-20	viisitoista	6	90	-5	25	150
20-30	25	4	100	5	25	100
30-40	35	2	70	viisitoista	225	450 js-funktion kutsuminen html:stä
40-50	Neljä viisi	1	Neljä viisi	25	625	625
Kaikki yhteensä		16	320			2000

Keskiarvo (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)

⇒ Keskiarvo (μ) = 320/16 = 20

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (x _i – m) ² /n)

⇒ σ = √[(2000)/(16)]

⇒ σ = √(125)

⇒ σ = 11,18

Standardijohdannainen(σ) = 11,18

Tarkistaa: Keskihajonnan laskentamenetelmät diskreetissä sarjassa

Kattavaan kokoelmaan matematiikan kaavat seuraamalla techcodeview.com:ta.

Tarkista myös:

• Keskiarvo, mediaani, tila
• Keskitrendi

Keskihajontakaava Excel

• Helppo laskenta: Käytä Excelin sisäänrakennettuja toimintojaSTDEV.P>koko väestölle taiSTDEV.S>näytteeksi.
• Vaiheittainen opas: Kirjoita tietojoukkosi yhteen sarakkeeseen ja kirjoita sitten=STDEV.S(A1:A10)>(korvaa A1:A10 tietoalueellasi) uuteen soluun saadaksesi näytteen keskihajonnan.
• Visuaaliset apuvälineet: Käytä Excelin kaaviotyökaluja esittääksesi visuaalisesti tietojen vaihtelua keskihajonnan rinnalla.

Tarkistaa: Taajuusjakauman sarjojen standardipoikkeaman laskentamenetelmät

Keskihajontakaavatilastot

• Ydinkäsite: Keskihajonta mittaa arvojoukon vaihtelun tai hajonnan määrää.
• Keskeinen näkemys: Pieni keskihajonna osoittaa, että arvot ovat yleensä lähellä keskiarvoa, kun taas korkea keskihajonna osoittaa, että arvot jakautuvat laajemmalle alueelle.
• Tilastollinen merkitsevyys: Käytetään määrittämään, johtuvatko ryhmien väliset erot sattumasta, erityisesti hypoteesitestauksessa ja kokeellisessa data-analyysissä.

Johtopäätös – keskihajonta

Keskihajonta antaa arvokasta tietoa tietojoukon vaihtelevuudesta tai johdonmukaisuudesta. Sitä käytetään laajasti eri aloilla, kuten tilastoissa, rahoituksessa ja tieteessä, jotta voidaan ymmärtää tietojen jakautumista ja tehdä tietoisia päätöksiä vallitsevan vaihtelutason perusteella.

Keskihajonnan usein kysytyt kysymykset

Mikä on keskihajonta tilastoissa?

Keskihajonta määrittelee datan arvojen volatiliteetin suhteessa annetun tietojoukon keskiarvoon. Se määritellään poikkeaman keskiarvon neliön neliöjuureksi.

Kuinka laskea keskihajonta?

Keskihajonta lasketaan kaavalla,

σ =Miksi keskihajontaa käytetään?

Standardipoikkeamaa käytetään useisiin eri tarkoituksiin, joista osa sen tärkeistä käyttötavoista on,

• Sitä käytetään tietojen arvojen volatiliteettien selvittämiseen suhteessa keskiarvoon.
• Sitä käytetään tietojen poikkeama-alueen löytämiseen.
• Se ennustaa suurimman volatiliteetin datajoukon tietyssä arvossa.

Mitä eroa on standardipoikkeaman ja varianssin välillä?

Varianssi lasketaan ottamalla neliöpoikkeaman keskiarvo keskiarvosta, kun taas keskihajonta on varianssin neliöjuuri. Toinen ero niiden välillä on niiden yksikössä. Keskihajonta ilmaistaan ​​samoissa yksiköissä kuin alkuperäiset arvot, kun taas varianssi ilmaistaan ​​yksikköinä².

Todellinen keskimääräinen menetelmä

Oletettu keskimääräinen menetelmä

Vaihepoikkeamamenetelmä

Voiko keskihajonta olla negatiivinen?

Ei, keskihajonta ei voi koskaan olla negatiivinen, kuten voimme nähdä kaavasta, kaikki termit, jotka voivat olla negatiivisia, on neliöity.

Mikä on keskihajonta Selitä esimerkein?

Standardipoikkeama on tietojoukon annettujen arvojen vaihtelun tai hajaantumisen mitta.

Esimerkki: Löytääksesi 1, 2, 3 ja 4 keskiarvot

Datan keskiarvo = 13/4 = 3,25

Keskihajonta = √[(3,25-1)2 + (3-3,25)2 + (4-3,25)2 + (5-3,25)2]/4 = √2,06 = 1,43

Mikä on keskihajontakaava?

Keskihajontakaava on,

Keskihajonta (σ) = √[ Σ(x – μ) ² / N]

Milloin keskihajonta on 1?

Standardipoikkeamaa, jossa 1 ja keskiarvo 0, kutsutaan standardinormaalijakaumaksi.

Mikä on 10 ensimmäisen luonnollisen luvun keskihajonta?

Ensimmäisen 10 luonnollisen luvun keskihajonta on 2,87

Mikä on 40:n, 42:n ja 48:n keskihajonta?

40, 42 ja 48 standardipoikkeama on 3,399

Mitä keskihajonta kertoo?

Standardipoikkeama on normaalijakauman leviämisen mitta. Keskihajonta kertoo meille tietojoukon hajoamisen tietojoukon keskiarvon ympärillä.