PUOLISUUNNIKKAAN MUOTOINEN SÄÄNTÖ: MÄÄRITELMÄ, KAAVA, ESIMERKIT JA USEIN KYSYTYT KYSYMYKSET

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö on yksi integroinnin perussäännöistä, jota käytetään määrittelemään integraation perusmääritelmä. Se on laajalti käytetty sääntö, ja puolisuunnikkaan sääntö on nimetty siten, koska se antaa käyrän alla olevan alueen jakamalla käyrän pieniksi puolisuunnikkaan suorakulmioiden sijaan.

Yleensä käyrän alla oleva pinta-ala selviää jakamalla pinta-ala pienempiin suorakulmioihin ja etsimällä sitten kaikkien suorakulmioiden summa, mutta puolisuunnikkaan säännössä käyrän alla oleva pinta-ala jaetaan puolisuunnikkaan ja sitten lasketaan niiden summa. Puolisuunnikkaan sääntöä käytetään määrällisten integraalien arvon löytämiseen numeerisessa analyysissä. Tätä sääntöä kutsutaan myös puolisuunnikkaan säännöksi tai puolisuunnikkaan säännöksi. Opitaanpa tässä artikkelissa tarkemmin puolisuunnikkaan muotoisesta säännöstä, sen kaavasta ja todistuksesta, esimerkistä ja muista.

Mikä on puolisuunnikkaan muotoinen sääntö?

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö on sääntö, jota käytetään määrittämään muodon määrätyn integraalin arvo^b∫_af(x) dx. Tiedämme, että arvo kiinteä integraali^b∫_af(x) dx on käyrän y = f(x) ja x-akselin välissä a ja b sisällä oleva alue x-akselilla. Laskemme tämän alueen jakamalla koko alueen useisiin pieniin suorakulmioihin ja etsimällä niiden summan.

Puolisuunnikassäännössä, kuten nimestä voi päätellä, käyrän alla oleva pinta-ala jaetaan useisiin puolisuunnikkaan ja sitten niiden summasta saadaan käyrän pinta-ala. Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö ei anna parasta likiarvoa käyrän alapuolelle kuin Simpsonin sääntö, mutta silti sen tulos on riittävän tarkka ja tämä sääntö on laajalti käytetty sääntö laskennassa.

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntökaava

Puolisuunnikkaan säännön kaava on kaava, jota käytetään käyrän alla olevan alueen etsimiseen. Etsi nyt käyrän alla oleva alue käyttämällä puolisuunnikkaan muotoista sääntöä,

Olkoon y = f(x) suljetulla aikavälillä [a, b] määritelty jatkuva käyrä. Nyt jaamme suljetun välin [a, b] n yhtä suureen osaväliin, joiden leveys on

Δx = (b – a)/n

Sellaista,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

Nyt käyttämällä puolisuunnikkaan sääntökaavaa voimme löytää käyrän alla olevan alueen seuraavasti:

∫^b_af(x) dx = Käyrän alla oleva pinta-ala = (Δx/2) [y₀+ 2 (ja₁+ ja₂+ ja₃+ ….. + ja_n-1) + y_n]

missä, y₀, ja₁, ja₂,…. ja_novat funktion arvot kohdissa x = 1, 2, 3, ….., n.

Puolisuunnikassääntökaavan johtaminen

Puolisuunnikkaan säännön kaava käyrän alla olevan pinta-alan laskemiseksi johdetaan jakamalla käyrän alla oleva pinta-ala useisiin puolisuunnikkaan ja sen jälkeen laskemalla niiden summa.

Lausunto:

Olkoon f(x) välille (a, b) määritetty jatkuva funktio. Nyt jaetaan intervallit (a, b) n yhtä suureen osaväliin, joissa kunkin intervallin leveys on,

Δx = (b – a)/n

siten, että a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Sitten puolisuunnikkaan säännön kaava on,

∫^b_af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

missä, x_i= a + i△x

Jos n → ∞, lausekkeen R.H.S antaa määrätyn integraalin $int_{a}^{b}f(x) dx$

Todiste:

Tämä kaava todistetaan jakamalla annetun käyrän alla oleva pinta-ala yllä olevan kuvan mukaisesti erilaisiin puolisuunnikkaan. Ensimmäisen puolisuunnikkaan korkeus on Δx ja yhdensuuntaisten kantakantojen pituus on f(x₀) ja f(x₁)

Ensimmäisen puolisuunnikkaan pinta-ala = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Vastaavasti jäljellä olevien puolisuunnikkaan pinta-alat ovat (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], ja niin edelleen.

Nyt voimme sanoa, että

∫^b_af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n) )

Yksinkertaistamisen jälkeen saamme

∫^b_af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Siten puolisuunnikkaan muotoinen sääntö on todistettu.

Kuinka soveltaa puolisuunnikkaan muotoista sääntöä?

Puolisuunnikassääntö etsii käyrän alla olevan alueen jakamalla käyrän alla olevan alueen erilaisiin puolisuunnikkaan ja laskee sitten kaikkien puolisuunnikkaan summan. Puolisuunnikassääntö ei ole täydellinen approksimaatio määrätyn integraalin arvolle, koska se käyttää neliöllistä approksimaatiota.

Meidän on löydettävä määrätyn integraalin arvo, ∫^b_af(x) dx. Määrätyn integraalin arvo voidaan laskea puolisuunnikkaan säännön avulla noudattamalla alla olevia vaiheita,

Vaihe 1: Merkitse osavälien, n ja intervallien a ja b arvot.

Vaihe 2: Etsi osavälin (△x) leveys kaavalla △x = (b – a)/n

Vaihe 3: Laita kaikki arvot puolisuunnikkaan säännön kaavaan ja etsi likimääräinen pinta-ala annetusta käyrästä, joka edustaa tarkkaa integraalia ∫^b_af(x) dx

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

missä, x _i = a + i△x

Puolisuunnikkaan säännön summausmerkintä

Tiedämme, että puolisuunnikkaan pinta-ala on periaatteessa yhdensuuntaisten sivujen pituuksien keskiarvo kerrottuna korkeudella. Joten tässä tapauksessa harkitse puolisuunnikasta i:lle^thintervalli,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Koska kokonaispinta-ala on kaikkien alueiden summa,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Tätä kutsutaan puolisuunnikkaan muotoisten summien sigma-merkinnällä tai summamerkinnällä.

Riemann summat

Riemann tiivistää työn, joka koskee ajatusta kaarevan alueen jakamisesta erilaisiin suorakaiteen muotoisiin osiin. Kun suorakulmioiden määrä kasvaa, alue tulee lähemmäksi nykyistä aluetta. Alla olevassa kuvassa on funktio f(x). Tämän toiminnon alla oleva alue on jaettu useisiin suorakulmioihin. Käyrän alla oleva kokonaispinta-ala on kaikkien suorakulmioiden pinta-alojen summa.

Huomaa, että yllä olevassa kuvassa suorakulmioiden oikea pää koskettaa käyrää. Tätä kutsutaan oikean-Riemannin summiksi.

Toisessa tapauksessa, kun suorakulmioiden vasen pää koskettaa käyrää alla olevan kuvan mukaisesti, niitä kutsutaan vasen Riemannin summiksi.

Oletetaan, että Δx on intervallin leveys, n on välien lukumäärä, kuten edellä on todettu. Sitten summan edustaman käyrän pinta-ala saadaan kaavalla,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Keskipisteen summat

Riemannin summissa joko suorakulmion vasen tai oikea pää koskettaa käyrää. Tässä tapauksessa suorakulmion keskipiste koskettaa käyrää. Kaikki muu on sama kuin Riemannin summat. Alla oleva kuva esittää funktion f(x) ja eri suorakulmioita keskipisteen summaina.

Sanotaan A_itarkoittaa i:n aluetta^thsuorakulmio. Tämän suorakulmion pinta-ala on tässä tapauksessa

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Nyt summausmerkinnän kokonaispinta-ala saadaan seuraavasti:

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Lue lisää,

Integrointikaavat
Integrointi osien mukaan
Erilaistumis- ja integraatiokaava

Ratkaistu esimerkki puolisuunnikkaan muotoisesta säännöstä

Esimerkki 1: Etsi funktion f(x) ympäröimä alue välillä x = 0 - x = 4 4 välillä.

f(x) = 4

Ratkaisu:

Tässä a = 0, b = 4 ja n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö arvolle n = 4 on,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Korvaamalla tämän yhtälön arvot,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

Esimerkki 2: Etsi funktion f(x) sulkema alue välillä x = 0 - x = 3 3 välillä.

f(x) = x

Ratkaisu:

Tässä a = 0, b = 3 ja n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö arvolle n = 3 on,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Korvaamalla tämän yhtälön arvot,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Oikeanuoli T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Oikea nuoli T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Esimerkki 3: Etsi funktion f(x) sulkema alue välillä x = 0 - x = 2 kahdella välillä.

f(x) = 2x

Ratkaisu:

Tässä a = 0, b = 2 ja n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö arvolle n = 2 on,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Korvaamalla tämän yhtälön arvot,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Oikeanuoli T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Esimerkki 4: Etsi funktion f(x) ympäröimä alue välillä x = 0 - x = 3 3 välillä.

f(x) = x ²

Ratkaisu:

Tässä a = 0, b = 3 ja n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö arvolle n = 3 on,
alennuskuva

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Korvaamalla tämän yhtälön arvot,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Oikeanuoli T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Esimerkki 5: Etsi funktion f(x) ympäröimä alue välillä x = 0 - x = 4 4 välillä.

f(x) = x ³ + 1

Ratkaisu:

Tässä a = 0, b = 4 ja n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö arvolle n = 4 on,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Korvaamalla tämän yhtälön arvot,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Oikeanuoli T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Oikea nuoli T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Oikea nuoli T_n= 72$

Esimerkki 6: Etsi funktion f(x) ympäröimä alue välillä x = 0 - x = 4 4 välein.

f(x) = e ^x

Ratkaisu:

Tässä a = 0, b = 4 ja n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö arvolle n = 4 on,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Korvaamalla tämän yhtälön arvot,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Oikea nuoli T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Trapetsoidisäännön sovellukset

Numeerinen integrointi:

Puolisuunnikkaan säännön ensisijainen sovellus on määrällisten integraalien approksimointi. Sitä käytetään, kun funktion integrointi on haastavaa ja numeerinen lähestymistapa on käyttökelpoisempi. Puolisuunnikkaan muotoinen sääntö on usein osa kehittyneempiä numeerisia integrointitekniikoita.

Fysiikka ja tekniikka:

Fysiikassa ja tekniikassa puolisuunnikkaan muotoista sääntöä voidaan soveltaa laskemaan suureita, kuten siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys. Esimerkiksi kun kokeellista dataa kerätään diskreetin aikavälein, puolisuunnikkaan muotoista sääntöä voidaan käyttää käyrän alla olevan alueen estimoimiseksi, mikä antaa integraalin likiarvon.

Talous ja rahoitus:

Puolisuunnikkaan muotoista sääntöä voidaan soveltaa rahoitusmallinnuksessa arvioimaan tulevien kassavirtojen nykyarvoa. Tämä on erityisen hyödyllistä diskontatun kassavirran (DCF) analyysissä, jossa tavoitteena on laskea sijoituksen nettonykyarvo.

Tilastot:

Tilastoissa puolisuunnikkaan säännön avulla voidaan estimoida todennäköisyystiheysfunktioiden tai kumulatiivisten jakaumafunktioiden ala. Tämä on erityisen hyödyllistä tapauksissa, joissa jakauman tarkka muoto on tuntematon tai monimutkainen.

Usein kysytyt kysymykset puolisuunnikkaan muotoisesta säännöstä

Q1: Mikä on puolisuunnikkaan muotoinen sääntö?

Vastaus:

Puolisuunnikassääntö on sääntö, jota käytetään määrätyn integraalin löytämiseen, se jakaa käyrän alla olevan alueen useisiin puolisuunnikkaan ja sitten löydetään niiden yksittäinen pinta-ala ja sitten lasketaan summa, jotta saadaan kiinteän integraalin arvo.

Q2: Mikä on puolisuunnikkaan muotoinen sääntökaava?

Vastaus:

Puolisuunnikkaan säännön kaava on,

∫ ^b _a f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

Q3: Miksi sitä kutsutaan puolisuunnikkaan sääntökaavaksi?

Vastaus:

Puolisuunnikassääntökaavaa kutsutaan puolisuunnikkaan säännöksi, koska se jakaa käyrän alla olevan alueen useisiin puolisuunnikkaan ja sitten niiden pinta-ala lasketaan etsimällä puolisuunnikkaan summa.

Q4: Mitä eroa on puolisuunnikkaan säännön ja Riemannin summasäännön välillä?

Vastaus:

Suurin ero puolisuunnikkaan säännön ja Riemannin summasäännön välillä on se, että puolisuunnikkaan muotoinen sääntö jakaa käyrän alla olevan alueen puolisuunnikasiksi ja löytää sitten alueen ottamalla niiden summan, kun taas Riemannin summat jakavat käyrän alla olevan alueen puolisuunnikkaana ja sitten löytää alueen ottamalla niiden summan.